transformação

por Kowalski Ter 24 Mar 2015, 02:35

O conjunto-imagem da função f: R→R, definida por
f(x) = 2cos2x + cos²x, é o intervalo:

a)|-2,1| b)|-2,3| c)|-2,3| d)|-2,0|

resp: C

por **Mimetist** Ter 24 Mar 2015, 03:06

Para x=2k\pi

cos(x)=1 \rightarrow cos(2x)=1 e f(x) é máxima:

\big[f(x)\big]_{max}=3

Para x=\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi

cos(x)=0 \rightarrow cos(2x)=-1 e f(x) é mínima:

\big[f(x)\big]_{min}=-2

Portanto:

\boxed{Im(f)=\{y\ \epsilon \ \mathbb{R} \ / -2\leq y\leq 3\}}

por Kowalski Ter 14 Abr 2015, 00:35

Eu não entendi muito bem o lance do 2kp cosseno de 2pi eu sei que é 1 mas como tu achaste 3 do f(x) max , você multiplicou por 2 e depois somou 1 ??
e também não entendi como tu achaste o mínimo para pi/2 + 2kpi

por **Mimetist** Ter 14 Abr 2015, 02:12

O cosseno tem valor máximo para múltiplos inteiros de 2\pi, o que pode ser escrito na forma 2k\pi .

Nesse caso (onde cosseno é máximo e apresenta magnitude 1), o valor da função será:

f(2k\pi)=2\cdot (1) + 1 \iff f(2k\pi)=3

O cosseno será mínimo quando:

cos\Big(\pm \frac{\pi}{2}+2k\pi\Big)=cos\Big(\frac{\pm \pi+4k\pi}{2}\Big)=0

Porém, note que há um arco duplo, assim, se tivermos, por exemplo, cos\Big(\frac{\pi}{2}\Big) , o cosseno do dobro desse arco é cos(\pi)=-1 , de modo que, generalizando, f\Big[2\cdot\Big(\pm \frac{\pi}{2}+2k\pi\Big)\Big]=-1

Assim:

cos\Big(\pm \frac{\pi}{2}+2k\pi\Big)=0 \rightarrow cos^2\Big[\pm \frac{\pi}{2}+2k\pi\Big]=0 \ \ \ \text{e} \ \ \ cos\Big[2\cdot\Big(\pm \frac{\pi}{2}+2k\pi\Big)\Big]=-1

Portanto:

f\Big(\pm \frac{\pi}{2}+2k\pi\Big)=2\cdot(-1) \ \ \therefore \ \ f\Big(\pm \frac{\pi}{2}+2k\pi\Big)=-2