Trapézio

No trapézio ABCD (BC paralelo a AD), P é ponto médio de BD, tal que os ângulos CPD e BAD são congruentes, AB = BP e CP = 3. Determine AD.


Gab: 9

Desculpe a minha ignorância, mas poderia explicar o que você pensou passo a passo, pois não estou conseguindo entender bem como você chegou nas conclusões do desenho

Olá Gabriel

Não se trata de ignorância, e sim de um pouco mais de experiencia.
As figuras são montadas obedecendo o enunciado. Na montagem procurar sempre manter as proporções do enunciado , principalmente nos valores dos ângulos. Ou seja: se o enunciado fala em 20° você tem que desenhar um âng aprox. dessa medida.
No meu caso eu uso o software do geogebra, e ele possibilita  fazer os desenhos bem aproximados . Quem tem mais experiencia, consegue desenhar com muita precisão.

O que eu pensei neste caso.
Feito o desenho e partindo do triâng. equilátero APB , calcula-se os âng. de 30°.
O probl. diz  que C^PD=BAD então CP é perpendicular a  BD e consequentemente o triâng.   CPB é retângulo 30/60/90.cujo menor cateto CP=3(dado).
pela prop. dos triâng. ret 30/60/90 chega-se a BC=6 e BP=6V3.
Baixando a perpendicular  PH sobre AD forma-se o triâng. ret. 30/60/90 de hipot.3V3 , enttão o maior cateto AH mede 3V3/2 . V3.
Daí para frente é fácil. Se tiver dúvida pergunte.

Obs: 
1 - O pto H não está na figura.
2 - Sabe o que ajuda bem em geo plana ? procure ver dentro das figs. os triângs. ret.,  principalmente o de 30/60/90,  e saiba de cor as propr. dos triâng. retângulos.

Entendi tudo, menos uma parte, como você concluiu que o triangulo APB era equilátero sei que os lados AB e BP eram iguais mas como saber que o lado AP era igual aos demais?

Veja o triâng. ret.  ABD no desenho .
Veja o que disse em Obs: item 2 
O que diz a propriedade. do triâng. ret . referente a mediana que parte do âng. reto  ??

Ah sim, verdade! agora entendi tudo! muito obrigado!