quadrilatero

Prove que se os pontos médios dos lados
de um quadrilátero qualquer são vértices de
um 2º quadrilátero então este é um
paralelogramo.

- no plano coordenado, seja o quadrilátero convexo qualquer dado pelos pontos OABC:

O( 0, 0 ) , A( xA, 0 ) , B( xB, yB ) C( 0, yC )

com XB > xA , yC > yB


- marque no plano os pontos médios do lados OA , AB, BC e CO:

ponto médio do lado OA -> ( xA/2 , 0 )

ponto médio do lado AB -> ( (xB + xA)/2 , yB/2 )

ponto médio do lado BC -> ( xB/2 , ( yB + yC )/2 )

ponto médio do lado AC -> ( yC/2 , 0 )


sejam:

reta que passa pelos pontos médio > ( 0, yC/2  e ( xB/2 , ( yB+yC)/2 ):

......yC
y - -----
.......2...........x - 0
----------- = --------
yB + yC...........xB
-------- ........----- - 0
.....2................2

desenvolvendo temos:

2y - yC.......2x
--------- = --------
....yB..........xB


2y*xB  - xB*yC = 2*yB*x

...... 2yB*x + xByC.......2yB..........xB*yC
y = --------------- = ------* x + -------
............ 2xB...............2xB........... 2*xB


reta com coeficiente angular igual a m1 = yB/xB



reta que passa pelos pontos ( xA/2 , 0 ) e [ ( xB + xA)/2 , ( yB/2 ) ] :


..y - 0........... x - ( xA/2 )
----------- = ------------------------
(yB/2) - 0........( xB + xA )/2 - ( xA/2 )


desenvolvendo


y = ( 2*yB*x - yB*xA )/ 2*xB

..... 2*yB........yB*xA
y = ------- - --------
......2*xB..........2*xB


reta com coeficiente angular m2 = yB/xB

assim, as retas são paralelas


- desenvolva de modo análogo para as outras duas retas e verifique a igualdade dos coeficientes angulares.