Calcular tgx

Em um triângulo retângulo ABC, a hipotenusa BC, de comprimento a, é dividida em n partes iguais (n é inteiro ímpar). Seja x o ângulo agudo, com vértice em A, que subtende o segmento que contém o ponto médio da hipotenusa. Seja h o comprimeto da altura relativa à hipotenusa do triângulo. Prove:
tgx = 4nh/[(n²-1)a]

Veja a imagem, com n=5 , x=y+z , AH=h , M ponto médio de BC



Fatos do triângulo retângulo:

- A hipotenusa BC é um diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC. Com isso BM=MC tem a mesma medida que o raio da circunferência e, pelo teorema do ângulo central, como o vértice A do ângulo reto pertence a circunferência, AM também é raio. Portanto AM=BM=CM=a/2 ;

- Do item anterior, AMB e AMC são isósceles e então os ângulos externos AMC e AMB serão o dobro dos ângulos nos vértices B e C, respectivamente ;

- Valem as seguintes propriedades trigonométricas:
\sin{2\alpha}=\sin{(2\cdot (90\degree-\beta))}=\sin{(180\degree-2\beta)}=\sin{2\beta}

\cos{2\alpha}=\cos{(2\cdot (90\degree-\beta))}=\cos{(180\degree-2\beta)}=-\cos{2\beta}

Devido ao fato de α e β serem complementares.

Sabemos que o triângulo ABC tem área dada por \frac{ah}{2}. Assim, como o triângulo ADE tem a mesma altura que ABC e uma base dada por DE=a/n, teremos que pela proporcionalidade entre áreas:

\frac{S_{ADE}}{\frac{a}{n}}=\frac{\frac{ah}{2}}{a}

S_{ADE}=\frac{ah}{2n}

Vamos calcular novamente a área de ADE utilizando os ângulos AMD e AME:

S_{ADE}=S_{AMD}+S_{AME}

S_{ADE}=\frac{DM\cdot MA \cdot \sin{2\beta}}{2} + \frac{EM\cdot MA \cdot \sin{2\alpha}}{2}

S_{ADE}=\frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2n}\cdot \frac{\sin{2\alpha}}{2} + \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2n}\cdot \frac{\sin{2\beta}}{2}

Utilizando que sin(2α)=sin(2β)

S_{ADE}=\frac{a^2}{4n}\cdot \sin{2\alpha}

Logo

\frac{ah}{2n}=\frac{a^2}{4n}\cdot \sin{2\alpha}

\sin{2\alpha}=\frac{2h}{a}

Utilizaremos agora a lei dos senos em AMD:

\frac{\sin{y}}{DM}=\frac{\sin{(180\degree-y-2\beta)}}{AM}

\frac{\sin{y}}{\frac{a}{2n}}=\frac{\sin{(y+2\beta)}}{\frac{a}{2}}

n \sin{y}=\sin{(y+2\beta)}

n \sin{y}=\sin{y}\cos{2\beta}+\cos{y}\sin{2\beta}

Como cos(2β)≠0 podemos dividir toda a equação por esse termo:

n \tan{y}=\tan{y}\cos{2\beta}+\sin{2\beta}

Veja que \cos{2\beta}=\pm \sqrt{1-\sin^2{\beta}}=\pm \frac{\sqrt{a^2-4h^2}}{a}

Como cos(2β)=-cos(2α), podemos fazer com que cos(2β) seja positivo, sem nenhuma perda de generalidade. Logo:

n \tan{y}=\tan{y}\frac{\sqrt{a^2-4h^2}}{a}+\frac{2h}{a}

\tan{y}=\frac{2h}{na-\sqrt{a^2-4h^2}}

De forma análoga a AMD, utilizaremos a lei dos senos em AME:

\frac{\sin{z}}{ME}=\frac{\sin{(180\degree-z-2\alpha)}}{AM}

n \sin{z}=\sin{(z+2\alpha)}

n \sin{y}=\sin{y}\cos{2\beta}+\cos{y}\sin{2\beta}

Como cos(2α)≠0 podemos dividir toda a equação por esse termo:

n \tan{z}=\tan{z}\cos{2\alpha}+\sin{2\alpha}

n \tan{z}=\tan{z}\frac{-\sqrt{a^2-4h^2}}{a}+\frac{2h}{a}

\tan{z}=\frac{2h}{na+\sqrt{a^2-4h^2}}

Como \tan{x}=\frac{\tan{y}+\tan{z}}{1-\tan{y}\tan{z}}

\tan{x}=\frac{\frac{2h}{na-\sqrt{a^2-4h^2}}+\frac{2h}{na+\sqrt{a^2-4h^2}}}{1-\frac{2h}{na-\sqrt{a^2-4h^2}} \cdot \frac{2h}{na+\sqrt{a^2-4h^2}}}

\tan{x}=\frac{\frac{2h\cdot 2na}{(na)^2-(a^2-4h^2)}}{\frac{(na)^2-(a^2-4h^2)-4h^2}{(na)^2-(a^2-4h^2)}}

\tan{x}=\frac{2h\cdot 2na}{(na)^2-(a^2-4h^2)-4h^2}=\frac{4hna}{a^2(n^2-1)}

\tan{x}=\frac{4nh}{a(n^2-1)}

Espero ter te ajudado, abraço!