Encontrar coordenadas

O triângulo PQR é equilátero. Sendo C(5,3), Q(1,6) e P(x, y), encontre as coordenadas do ponto P.

Pessoal, se o triângulo é equilátero, eu presumo que tenho que usar a fórmula da distância entre dois pontos, a distância entre C e Q é :

d^2 = (5 - 1)^2 + (3 - 6)^2
d^2 = 4^2 + (-3)^2
d^2 = 25
d = 5

Então as distâncias tem que serem iguais, não? Dcq = Dcp = Dqp

Mas eu jogo na fórmula e chego a umas equações gigantes, e no final fico travado.

Será que alguém poderia resolver pra mim?

Obs: Eu não tenho o gabarito, mil perdões =(

Muito obrigado desde já!!

O procedimento que você adotou é tecnicamente correto, porém vai, de fato, conduzir a uma álgebra complicada. Recomendo que não escolha sempre cegamente apenas o caminho puramente algébrico. Se você fizer um pequeno esboço terá uma útil visão geométrica do problema.

Pegue um pedaço de papel e desenhe um segmento CQ, cuja distância (5) você já calculou. Agora veja que uma altura desse triângulo está contida na reta que é perpendicular ao ponto médio de CQ.

essa reta é y=\frac{4x}{3}+\frac{1}{2}

Veja que há duas possibilidades, uma para cada lado de CQ. Considere uma circunferência centrada em C, por exemplo, com raio = 5

(x-5)^2+(y-3)^2=25

os dois pontos de intersecção dessa circunferência com a reta fornecem os dois vértices P e P' possíveis.

(x-5)^2+\left(\frac{4x}{3}+\frac{1}{2}-3\right)^2=25

ajeite a equação que não será difícil resolver. Dois valores para x que fornecem dois valores para y.


.........................| C
.........................|
.........................|
.........................|
-|P'-----------------|----------------|P--------
.........................|
.........................|
.........................|
.........................| Q