Indução Finita

Demonstre usando indução finita:
   
        O número de diagonais de um polígono convexo de n lados é d =[(n-3)]/2


Obrigado!

Aeron945 escreveu:Demonstre usando indução finita:
   
        O número de diagonais de um polígono convexo de n lados é d = n(n-3)/2 ---> correção


Obrigado!

É válido para n = 3, afinal o triângulo não possui diagonais.
Suponha que é valido para um certo polígono de n = k lados, isto é d_k = k(k-3)/2.
Provemos que é válido para n = k + 1.

(Se não conseguir imaginar, faça o desenho)
Imagine que você tem um polígono de k+1 vértices (e, portanto, k+1 lados). Pega-se, então, um vértice ao acaso, digamos ser o vértice C. Do vértice C traçamos um segmento que o une ao vértice E, de forma que o vértice D fique "para fora".
Formamos, então, o triângulo CDE e ao deixar de passar pelo vértice D formamos um polígono convexo de k vértices (que também são vértices do polígono de k+1 lados) e k lados (CD e DE não são lados desse novo poligono, mas CE passou a ser), de forma que esses k vértices e lados também são vértices e lados do polígono anterior.
Ora, as diagonais do polígono k+1 são as mesmas diagonais do polígono k mais as diagonais que saem do vértice D mais a diagonal CE (que para k é lado e para k+1 é diagonal).
d_k+1 = d_k + d_D + 1
Do vértice D de k+1 saem k-2 diagonais, pois as diagonais não podemos ligar D a vértices consecutivos (C e E) e a ele próprio. Portanto, d_D = k - 2.
d_k+1 = k(k-3)/2 + k - 2 + 1 = (k+1)(k-2)/2, c.q.d.