(OBF 2009 2ª fase/2º e 3º anos) questão 14

por **aryleudo** Seg 23 Fev 2015, 18:14

Uma partícula de massa m, carga elétrica negativa –q, realiza pequenas oscilações na coordenada y sobre a mediatriz do segmento entre duas cargas positivas +q, fixas, separadas por uma distância L conforme a figura 10. Mostre que a partícula realiza um movimento harmônico simples, na condição em que L é muito maior que a amplitude das oscilações realizadas pela partícula. Determine a freqüência de oscilação ω em função das variáveis apresentadas. Use ε0 como valor para a permissividade elétrica no vácuo. Você vai precisar fazer uma aproximação do tipo (1+x)n≈1+nx, com |x| muito menor que 1.

(OBF 2009 2ª fase/2º e 3º anos) questão 14 10rtjl1

OBS.: Sem gabarito!

por **Thálisson C** Ter 24 Fev 2015, 15:14

(OBF 2009 2ª fase/2º e 3º anos) questão 14 5ff7k9

a força restauradora (kx) será a resultante:

$\\F_{r} = 2F_{el}cos(a) \;\; \rightarrow \;\; F_{r} = 2 \cdot \frac{kq^{2}}{x^{2}+\left(\frac{L}{2} \right )^{2} } \cdot \frac{x}{\left (x^{2}+\left(\frac{L}{2} \right )^{2} \right )^{\frac{1}{2}}}\\\\\\ F_{r} = \frac{q^{2}x}{2\pi \varepsilon _{o}} \cdot \frac{1}{\left (x^{2}+\left(\frac{L}{2} \right )^{2} \right )^{\frac{3}{2}}} \;\; \rightarrow \;\; kx = \frac{q^{2}x}{2\pi \varepsilon _{o}} \cdot \frac{1}{\left (\frac{2^{2}x^{2} + L^{2}}{2^{2}} \right )^{\frac{3}{2}}}\\\\\\ k = \frac{q^{2}}{2\pi \varepsilon _{o}} \cdot \frac{2^{3}}{\left (2^{2}x^{2}+ L^{2} \right )^{\frac{3}{2}}} \;\; \rightarrow \;\; k = \frac{q^{2}}{2\pi \varepsilon _{o}} \cdot \frac{2^{3}}{\left (2^{2}x^{2}\frac{L^{2}}{L^{2}}+ L^{2} \right )^{\frac{3}{2}}}\\\\ k = \frac{q^{2}}{2\pi \varepsilon _{o}} \cdot \frac{2^{3}}{\left [L^{2}\left ( (\frac{2x}{L})^{2}+ 1\right ) \right ]^{\frac{3}{2}}}$

$k = \frac{q^{2}}{2\pi \varepsilon _{o}} \cdot \left (\frac{2}{L} \right )^{3} \cdot \frac{1}{\left \left ( (\frac{2x}{L})^{2} + 1\right ) \right ^{\frac{3}{2}}}$

utilizando a aproximação dada no enunciado, como x é muito menor que L, o fator (2x/L) será muito menor que 1, tal que:

$\\L > > x \;\; \rightarrow \;\; \frac{2x}{L} < < 1 \\\\ (1+y)^{n} \cong 1+ny \;\; se\;\; y < < 1$

a expressão de k ficaria:

$\\k = \frac{q^{2}}{2\pi \varepsilon _{o}} \cdot \left (\frac{2}{L} \right )^{3} \cdot \frac{1}{1+ \frac{3}{2}(\frac{2x}{L})^{2}}\;\; \rightarrow \;\; \frac{1}{1+ \frac{3}{2}(\frac{2x}{L})^{2}} \approx 1\\\\\\ k = \frac{q^{2}}{2\pi \varepsilon _{o}} \cdot \left (\frac{2}{L} \right )^{3} \;\; \rightarrow \;\; m\omega ^{2} = \frac{q^{2}}{2\pi \varepsilon _{o}} \cdot \left (\frac{2}{L} \right )^{3} \\\\\\\ \boxed { \omega \approx \sqrt{\frac{q^{2}}{2m\pi \varepsilon _{o}} \cdot \left (\frac{2}{L} \right )^{3}}}$

por **Elcioschin** Ter 24 Fev 2015, 17:09

Thálisson

A distância d entre cada carga positiva e a carga negativa é dada por:

d² = x² + (L/2)² ----> d = √[x² + (L/2)²] = [x² + (L/2)²]^1/2

Assim, na 1ª linha o 1º denominador está digitado errado ---> (d²)²

E, na mesma linha o 2º denominador deveria ser √[x² + (L/2)²] ou [x² + (L/2)²]^1/2

Na 2ª linha você já digitou correto