Trângulos coordenadas e distancias

por Matheusdomingos Qui 05 Fev 2015, 08:44

ABC é um triângulo, no plano cartesiano, com vértices A(0,0), B(2,1) e C(1,5). Sendo P o ponto do plano, tal que a soma dos quadrados das distâncias de P aos vértices de ABC seja a menor possível. O valor dessa soma mínima é:
Gab.:16

por **Thálisson C** Qui 05 Fev 2015, 09:49

o ponto P --> (1,y), pois os vértices do triângulo são em x sendo 0 e 2.

distância ao quadrado do ponto P aos vértices: (x = 1)

d² = y² + x² --> d² = y² + 1
d1² = (x-1)² + (y-5)² = y² - 10y + 25
d2² = (x-2)² + (y-1)² = 1 + y² -2y + 1

a soma dessas distâncias:

y² + 1 + y² - 10y + 25 + 1 + y² - 2y +1 = Soma
3y² - 12y + 28 = Soma

o menor valor para y é: - b/2a = 12/2.3 = 2

o menor valor para a soma, substituindo y:

Soma(mínima) = 3.2² - 12.2 + 28
Soma(mínima) = 16

por Matheusdomingos Qui 05 Fev 2015, 20:56

Thálisson C não entendi seu pensamento!

por **Thálisson C** Qui 05 Fev 2015, 21:04

em que parte?

por **Medeiros** Sex 06 Fev 2015, 04:06

Se me permite.
O Thálisson percebeu que o lugar geométrico do ponto P(x, y) deve ser a reta x=1 porque, em relação à variável x, fica equidistante dos pontos A e B, e fica sobre o ponto C, restando somente "ajustar" a variável y para a menor soma dos quadrados.

Outro modo -- não por G.A., conforme o fórum onde foi postado e o Thálisson resolveu mas, sim, por G. Euclidiana -- é perceber que o ponto P(x, y) deve ser o baricentro do triângulo ABC. Assim,

x = (0 + 2 + 1)/3 -----> x = 1
y = (0 + 1 + 5)/3 -----> y = 2
.:. P=(1, 2)

S = dA^2 + dB^2 + dC^2
S = (1-0)^2 + (2-0)^2 + (1-2)^2 + (2-1)^2 + (1-1)^2 + (2-5)^2
S = 1 + 4 + 1 + 1 + 0 + 9
S = 16

por Matheusdomingos Sex 06 Fev 2015, 07:19

Obrigado, mas como você percebeu que era o baricentro?

por **Medeiros** Sex 06 Fev 2015, 13:00

É a propriedade do baricentro ser o centro geográfico da figura (para corpos homogêneos, é o próprio centro de massa). Assim, a soma da suas distâncias aos pontos extremos é mínima. Por isso eu disse ser esta uma solução por G.P.

Se tomássemos qualquer outro ponto, inclusive fora da figura, poderia ficar próximo a um determinado vértice (ou até coincidente, distância zero) mas a soma das distancias aos três pontos seria maior.