domínio da função

por Convidado Qui 29 Jan 2015, 16:22

Qual seria o domínio da função ao lado? : $f(x)\sqrt{x^{2}-x}$

a resposta no meu livro é essa: [-infinito,0] U [1,+infinito], mas na minha resolução deu Dg= [1,+infinito]. Alguém poderia me explicar como resolve essa questão?

por **Carlos Adir** Qui 29 Jan 2015, 16:43

O 0 também conta:
f(0) = √(0²-0) = √0 = 0
f(-0.5) também funciona!
f(-0.5) = √[0.5² - (-0.5)] = √[0.25+0.75] = (√3)/2

Isto é, vamos determinar o conjunto dos números tais que x²-x<0:
$\\ x^2-x < 0 \Rightarrow x^2 - 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{4} \\ \Rightarrow \left(x-\dfrac{1}{2} \right )^2 < \dfrac{1}{4} \Rightarrow \left|x-\dfrac{1}{2}\right| < \dfrac{1}{2} \\ \Rightarrow \dfrac{-1}{2} < x - \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{2} \\ 0 < x < 1$
Logo, no intervalo (0, 1) o valor de dentro da raiz será negativo, agora pro restante será positivo. Logo, o dominio é:
D(f): (-∞, 0]U[1, +∞)

por **Elcioschin** Qui 29 Jan 2015, 17:36

Apenas como uma questão de nomenclatura, o correto seria:

-∞ < 0 ≤ 0 e 1 ≤ x < +∞

que é o mesmo que ---> ]-∞, 0]U[1, +∞[

por **Carlos Adir** Qui 29 Jan 2015, 18:54

Mestre Elcio, a maneira acima que demonstrei é uma das corretas? Ou poderia fazer dos modos:
$\\ 1^o) \ x \notin \left(0, 1 \right ) \\ 2^o) \ x \in \left(-\infty, 0\right]\cup \left[1, + \infty \right ) \\ 3^o) \ - \infty < x \le 0 \ \ e \ \ 1 \le x < \infty \\ 4^o) \ x \in \mathbb{R} \setminus (0, 1) \\ 5^o) \ x \notin \left]0, 1 \right[ \\ 6^o) \ x \in \ ]-\infty, 0 ]\cup [1, + \infty[ \\ 7^o) D(f)=\left\{x \in \mathbb{R} \ /. \ x \in \left(-\infty, 0 \right]\cup \left[0, +\infty \right) \right \} \\ 8^o) D(f)= \left\{x \in \mathbb{R} \setminus (0, 1) \right \}$

Qual destas seria a correta pra determinar o conjunto da questão?

por **Elcioschin** Qui 29 Jan 2015, 19:10

A 1ª não é adequada, pois os parênteses não especificam se 0, 1 estão ou não inclusos (nesta questão estão).

Na 2ª o ideal seria ter usado ] no início e ] no final

A 3ª está corretíssima

A 4ª também não é adequada pelo mesmo motivo da 1ª

A 5ª correta seria assim ---> x real e x não pertence ao intervalo 0 < x < 1

A 6ª está corretíssima

Na 7ª deveria tersido usado ] e [ ao invés de parênteses

Na 8ª ---> D(f) = {x ε ℝ \ x não pertence ao intervalo 0 < x < 1}

por **Carlos Adir** Qui 29 Jan 2015, 19:23

Ah sim, obrigado mestre. É que meu professor de calculo sempre usa parênteses pra indicar um conjunto aberto, e não o sinal do conjunto fechado invertido. Deste modo é melhor utilizar o "meio dele" na prova dele. Então isso varia de autor para autor. Assim pra expressar fica melhor o terceiro modo.