Reta e circunferência

Considere os pontos A(1, -3), B(5, -3) e C(1, 0) do plano cartesiano. Sendo λ a circunferência inscrita no triângulo ABC e r a reta passando pelos pontos B e C, determine o conjunto de todas as retas que são secantes a λ e formam ângulo de 45° com r.

O triângulo ABC é um triângulo retângulo, com catetos AC, AB, e hipotenusa BC:

AC=3
AB=4
BC=5
Um triângulo retângulo. O incentro, isto é, encontro das bissetrizes é o centro da circunferência.
A bissetriz do angulo reto BAC, é 45°, então a reta AD será paralela à reta y=x.
Encontramos então que a reta AD é  y=x - 4

A equação AD, a bissetriz do ângulo alfa tem inclinação 1/3. A equação da reta é então y=-(x/3) - (4/3)
Descobre-se pela relação trigonométrica:

E sabe-se que a tangente de alpha é 3/4, então substituimos achamos que tangente de meio alpha é 1/3.

Sabendo a equação das duas retas, achamos o ponto de intersecção das duas, que é D=(2, -2). E o raio do circulo é 1. Logo, a equação da circunferencia é:
λ:      (x-2)²+(y+2)²=1
A reta r tem equação:
r:       y=(-3/4)x+(3/4)

Pela relação trigonométrica:

Onde a tangente da primeira é a inclinação da reta r, e a tangente da segunda é a tangente de 45°:


Então a equação da reta que faz um ângulo de 45° então tem inclinação 1/7 ou -7.

Fazendo com y=x/7+b'

Primeiro:

Fazendo o mesmo, mas com a outra inclinação da reta, isto é, y=-7x+b'':

Segundo:

Temos então a solução:

Vlw Carlos!