Círculos interseccionados

(UFRGS 2013) Observe a figura abaixo:



No quadrado ABCD de lado 2, os lados AB e BC são diâmetros dos semicírculos. A área da região sombreada é

a) 3 – π/4
b) 4 – π/2
c) 3 - π
d) 4 - π
e) 3 – π/2

Por favor, poderiam me explicar como se consegue a área dos círculos interseccionados?

Obrigado

Modifique o olhar sobre a figura



a área não hachurada tem o tamanho de

- um semi-círculo de raio 1
- um quadrado de lado 1

Mathematicien escreveu:(UFRGS 2013) Observe a figura abaixo:



No quadrado ABCD de lado 2, os lados AB e BC são diâmetros dos semicírculos. A área da região sombreada é

a) 3 – π/4
b) 4 – π/2
c) 3 - π
d) 4 - π
e) 3 – π/2

Por favor, poderiam me explicar como se consegue a área dos círculos interseccionados?

Obrigado

Boa tarde,

A área comum aos dois semicírculos é igual a:
[S(círculo) - S(quadrado inscrito)]/4 * 2 = [S(círculo) - S(quadrado inscrito)]/2

S(círculo) = πr² = π(2/2)² = π
S(quadrado inscrito) = (2/√2)² = (2√2/2)² = (√2)² = 2

Área comum aos dois semicírculos = (π - 2)/2


Área da região sombreada = S(quadrado) - S(círculo) + área comum =


= 2² - π + (π - 2)/2 = 4 - π + (π - 2)/2  = (8 - 2π + π - 2)/2 = (6 - π)/2 = 3 - π/2


Alternativa (E)


Explicando:
A extensão da parte comum aos dois semicírculos é igual ao lado do quadrado inscrito no círculo (completo).








Um abraço.

ivomilton escreveu:A área comum aos dois semicírculos é igual a:
[S(círculo) - S(quadrado inscrito)]/4 * 2 = [S(círculo) - S(quadrado inscrito)]/2

Não entendi muito bem a que quadrado o senhor se refere. Se o senhor se refere à figura do Euclides, então por que a área comum aos dois semicírculos é igual a (1/4 da área do círculo - 1/4 da área do quadrado) * 2 ? Por favor, poderia esmiuçar um pouquinho mais?

Obrigado

Mathematicien escreveu:

ivomilton escreveu:A área comum aos dois semicírculos é igual a:
[S(círculo) - S(quadrado inscrito)]/4 * 2 = [S(círculo) - S(quadrado inscrito)]/2

Não entendi muito bem a que quadrado o senhor se refere. Se o senhor se refere à figura do Euclides, então por que a área comum aos dois semicírculos é igual a (1/4 da área do círculo - 1/4 da área do quadrado) * 2 ? Por favor, poderia esmiuçar um pouquinho mais?

Obrigado

Boa tarde,

Vou tentar esclarecer:
Aquela parte comum aos dois semicírculos (semelhante a uma bola de rugbi), conforme abaixo:

https://www.google.com.br/?gfe_rd=cr&ei=acGiVKupAYaj8wfB1YHoDg&gws_rd=ssl#q=imagem+de+uma+bola+de+rugby

Essa parte podemos dividi-la ao meio, em seu sentido longitudinal, através de um segmento de reta.

Tal segmento de reta é igual à medida de um quadrado que poderá ser inscrito em um círculo de raio igual à metade do lado do quadrado ABCD, ou seja:
raio = 2 cm/2 = 1 cm.

Então, o que percebi foi o seguinte:

A medida da área sombreada é igual à:
Área do quadrado ABCD menos a soma da área dos dois semicírculos (=área do círculo completo), mais a área comum (em forma de uma bola de rugby).

Para calcular essa área comum aos dois semicírculos, pensei assim:
Da área de um círculo completo (=referida soma dos dois semicírculos), subtrair a área do quadrado nele inscrito, cujo lado é igual à medida longitudinal da referida parte comum em formato de bola de rugby.

A área restante será formada por quatro segmentos circulares (ao redor do quadrado inscrito), medindo cada um exatamente a metade da área em forma da referida 'bola'.

Como a parte comum entre os 2 semicírculos contém medida igual a dois desses segmentos circulares, fica: Área comum = (área do círculo – área do quadrado inscrito)/4 x 2.

Espero que você consiga entender estas explicações...




Um abraço.

Mathematicien escreveu:Por favor, poderiam me explicar como se consegue a área dos círculos interseccionados?

Obrigado

Mathematicien, 
acho que o Euclides já lhe deu a melhor resposta para este problema. Entretanto, considerando apenas sua pergunta final, apresento minha contribuição para o esclarecimento.

Obrigado a todos vocês pelas ótimas respostas e pela ajuda!