Número de Divisores

por suxigui Seg 22 Dez 2014, 12:12

Seja N= 2^4*3^5*5^6. O Número de divisores positivos de N que são múltiplos de 10 é:

R: 144

Expliquem detalhadamente porque eu não entendi direito a resolução que tenho.
Obrigado, galera!

por **Elcioschin** Seg 22 Dez 2014, 12:46

N = 2^4*3^5*5^6

N = (2.2^3).(3^5).(5.5^5)

N = (2.5).(2^3).(3^5).(5^5)

N = 10.(2^3).(3^5).(5^5)

N/10 = (2^3).3^5).(5^5)

n = (3 + 1).(5 + 1).(5 + 1)

n = 4.6.6

n = 144

por suxigui Seg 22 Dez 2014, 12:50

Muito obrigado! Very Happy

por **Carlos Adir** Seg 22 Dez 2014, 12:56

$N=2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^6$

Tem-se que para um número ser multiplo de 10, deve ser divisível por 2 e por 5 ao mesmo tempo, logo temos que um divisor será escrito da forma:
$\\D=2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z}\\\begin{cases} 1 \le x \le 4\\0 \le y \le 5 \\ 1 \le z \le 6\end{cases}$
onde $x, y, z \in \mathbb{N}$

Assim, temos que podemos variar os valores, então:
$\begin{cases} x=\left(1,2,3,4 \right )\\y=\left(0,1,2,3,4,5 \right )\\z=\left(1,2,3,4,5,6 \right )\end{cases}$
Logo, pegando o número de valores:

$4 \times 6 \times 6 = 144$

por suxigui Seg 22 Dez 2014, 13:03

Não entendi a sua resolução Carlos Adir.
Pode explicar?

por suxigui Seg 22 Dez 2014, 13:05

elimina-se o 2^0 e 5^0 porque assim não teremos 2.5?

por **Carlos Adir** Seg 22 Dez 2014, 13:17

Exatamente, para que o divisor seja multiplo de 10, deve ser em sua composição pelo menos 2^1x5^1.
Exemplo: 2^1*3^4*5^3 é multiplo de 10
2^0*3^2*5^4 não é multiplo de 10
2^3*3^3*5^0 não é multiplo de 10
2^3*3^0*5^5 é multiplo de 10