Posição de ponto e Geometria

por MuriloTri Sáb 01 Nov 2014, 09:39

P é um ponto qualquer do lado AB do retângulo ABCD. Se AB = a e BC= b, então a soma das distâncias do ponto P ás diagonais AC e BD desse retângulo é igual a?

Posição de ponto e Geometria Pir2_2

a) $\frac{ab}{2\sqrt{a^2 + b^2}}$

b) $\frac{ab}{\sqrt{2(a^2+b^2)}}$

c) $\frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

d) $\frac{ab}{a+b}$

e) ${\sqrt{a^2 + b^2}}$

Não tenho o gabarito, Obrigado!

por vinitdasilva Sáb 01 Nov 2014, 12:48

Pra facilitar coloque o ponto P bem no meio do retângulo. No estudo das cônicas, fazemos a mesma coisa para deduzir a equação da elipse...
Posição de ponto e Geometria Sb6dkn

Calcule a diagonal:
$d=\sqrt{a^2+b^2}$

Vamos chamar de C a distância do ponto P até a diagonal. Use semelhança de triângulos a partir do ângulo alfa:

$sen\alpha =c/a$

$sen\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Iguale as duas expressões e você encontrará o valor de C. Como ele quer a soma das duas distâncias, basta somar C+C=2C

$2c = \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$