geometria plana - triângulos 3

Mostre que, em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das três medianas é igual a três vezes a metade do quadrado da hipotenusa.


Por favor a demonstração.

grato pela colaboração.

Basta aplicar Pitágoras!!!

Seja ABC o triângulo, retângulo em A
Sejam M, N, O os pontos médios de AC, AB e BC, Trace BM, CN e AP

BC = a ---> BP = CP = a/2
AC = b ---> AM = CN = b/2
AB = c ---> AN = BN = c/2

AP = a/2 (raio da circunferência circunscrita ao triângulo) 

BM² = AB²  AM² ---> BM² = c² + (b/2)² ---> BM² = (4c² + b²)/4

CN² = AC² + AN² ---> CN² = b² + (c/2)² ---> CN² = (4b² + c²)/4

AP² + BM² + CN² = (a/2)² + (4c² + b²)/4 + (4b² + c²)/4

AP² + BM² + CN² = a²/4 + (4c² + b²)/4 + (4b² + c²)/4

AP² + BM² + CN² = [a² + 5.(b² + c²)]/4

AP² + BM² + CN² = [a² + 5.a²)]/4

AP² + BM² + CN² = 3a²/2