equação da reta - 166 -12

Escreva a equação da reta que passa pelo ponto (3; 1) e que determina com os eixos Ox e Oy um triângulo localizado no primeiro quadrante e de área igual a 25/4.


resposta: x + 2y - 5 = 0 ou 2x + 9y - 15 = 0

- Família de retas que passam pelo ponto ( 3, 1 )

y - 1 = m*( x - 3 ) -> y - 1 = m*x - 3m

y = m*x - 3m + 1 (I)


- sejam os pontos onde a reta procurada cortam os eixos coordenados -> A( x1 , 0 ) e B( 0 , y1 )


- temos que a área do triângulo será dada por:

....... x1*y1
S = ---------
..........2

- como a área vale 25/4, então:

..x1*y1......25
---------- = -----
.....2 ..........4


.............25
x1*y1 = -----
..............2


- por (I):

y = m*x - 3m + 1

para x = 0 -> y1 = - 3m + 1

............................3*m - 1
para y = 0 -> x1 = -----------
................................. m


- assim:

25.....( - 3*m + 1 )*( 3*m - 1 )
--- = ------------------------------
2 .................. m


..............................25*m
- 9*m2 + 6*m - 1 = -------
.................................2


- 18*m² + 12*m - 2 = 25*m

- 18*m² - 13*m - 2 = 0

raízes: m = - 1/2 ou m = - 2/9


- para m = - 1/2:

y - 1 = - ( 1/2 )*( x - 3 )

y = ( - 1/2 )*x + ( 5/2 ) -> x + 3y - 5 = 0


- para m = - 2/3 :

y - 1 = ( - 2/9 )*( x - 3 ) -> 2x + 9y - 15 = 0