Problema de Valor Inicial

por guzitop95 Qui 09 Out 2014, 00:15

Verifique se $y=senxcox-cosx$ é uma solução do problema de valor inicial

$y'+(tgx)y=cos^{2}x$ $y(0)=-1$

no intervalo $-\frac{\pi }{2}< x< \frac{\pi }{2}$

por MCarsten Qui 09 Out 2014, 01:08

Como trata-se de uma EDO linear de 1a ordem:
$y' + p(x).y = r(x)$

Onde:
$p(x) = tg(x)$
$r(x) = cos^2(x)$

O objetivo é encontrar a função original, isto é, a antiderivada de y'. Então:
$y = e^{-h}\left [ \int e^{h}r(x) dx + C \right ]$

Para calcular h:
$h = \int p(x) dx$
$h = \int tg(x) dx$
$h = -ln(cos(x))$

Observe que não ocorre a adição de uma constante na integração indefinida de h em virtude dos fatores integrantes.

Substituindo h na fórmula anterior:
$y = e^{ln(cos(x))}\left [ \int e^{-ln(cos(x))} cos^2(x) dx + C \right ]$
$y = cos(x) \left [ \int \frac{1}{cos(x)} cos^2(x) dx + C \right ]$
$y = cos(x).[sen(x) + C]$

Substituindo com os dados do PVI:
$-1 = cos(0).sen(0) + C$
$C = -1$

Substituindo C:
$y = cos(x).[sen(x) - 1]$
$\boxed{y = cos(x).sen(x) - cos(x)}$

Portanto é solução.

por Man Utd Qui 09 Out 2014, 21:27

guzitop95 escreveu:Verifique se $y=senxcox-cosx$ é uma solução do problema de valor inicial

$y'+(tgx)y=cos^{2}x$ $y(0)=-1$

no intervalo $-\frac{\pi }{2}< x< \frac{\pi }{2}$

Uma outra maneira sem resolver a eq. dif. seria:

Verificando se a susposta solução do PVI atende a condição inicial :

$\\\\\\ y(0)=-1 \\\\ y(0)=sen(0)*cos(0)-cos(0)=-1$

Logo atende o PVI, bastar agora testar se é solução :

$\\\\\\ (sen(x)*cos(x)-cos(x))^{\prime}+tg(x)*(sen(x) cos (x)-cos(x))=cos^{2}(x ) \\\\\\ cos^{2}(x)-sen^{2}(x)+sen(x)+sen^{2}(x)-sen(x)=cos^{2}(x ) \\\\\\ 1-sen^{2}(x)=cos^{2}(x ) \\\\\\ cos^{2}(x)=cos^{2}(x )$

Como conseguimos a igualdade, então é solução do PVI.