Somatório

por **Jader** Sex 03 Out 2014, 04:30

Calcular $\frac{1}{n}\sum_{n=1}^{m+1}n*2^{n-1}$

Uma dica que o professor deu é lembrar da soma dos termos de uma PG finita de n termos, com o primeiro termo a1 e a razão q e q ≠ 1, é $S_{n}=\frac{a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$

por **Jose Carlos** Sex 03 Out 2014, 09:45

temos:

..1....m+1^......n-1........1..........m+1....m+1.......m+1....m+1
---- * ∑.......n*2...... = ---- * n * ∑.......2.......... = ∑.......2
..n....n = 1....................n..........n=1...................n=1

....................0
para = 1 -> 2 = 1

......................1
para n = 2 -> 2 = 2

......................2
para n = 3 -> 2 = 4
.
.
..........................m
para n = m+1 -> 2

logo:

m+1...m+1........0.....1....2............m+1
∑......2......... = 2 + 2 + 2 + .... + 2 =

........................................m+1
= 1 + 2 + 4 + 8 + ........ + 2 =

...........m+1
....1*( 2....... - 1 ).......m+1
= ------------------- = 2........ - 1
................1

n=1

por **Jader** Seg 06 Out 2014, 02:54

Olá Jose,

Obrigado pela ajuda e pela atenção.

por **Carlos Adir** Seg 06 Out 2014, 08:42

Eu sugiro que não use fórmulas as quais tu não sabes provar, ou alguem provou pra você.
Por exemplo, essa soma de termos de uma PG:
$S_n = \dfrac{a_1 (r^n-1)}{r-1}$

Pra provar é meio simples, veja:
$\\ a_2 = a_1 \times r \leftrightarrow a_3 = a_1 \times r^2 \\ a_n = a_1 \times r^{n-1}\\ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1} + a_n\\ S_n = (a_1) + (a_1 \times r) + (a_1 \times r^2) + \cdots + (a_1 \times r^{n-1})\\ S_n = (a_1) \times (1+r+r^2+r^3 + \cdots + r^{n-1})\\ S_n = a_1(r^0 + r^1 + r^2 + \cdots r^{n-2} + r^{n-1}) \\ k = r^0 + r^1 + r^2 + \cdtos r^{n-1}$
$\\r \times k = r (r^0 + r^1 + \cdots + r^{n-1})\\ rk =r^1+r^2+ \cdots r^n\\ (rk)-(k)=(r^1+r^2+r^3+\cdots r^n)-(r^0+r^1+\cdots+r^{n-1})\\ k(r-1)=r^n-r^0\\ k=\dfrac{r^n-r^0}{r-1}\\ S_n = a_1 \times k \\ S_n = \dfrac{a_1(r^n-r^0)}{r-1} \rightarrow S_n = \dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}$

A resposta:
$\\\dfrac{1}{n}\sum_{n=1}^{m+1} n \times 2^{n-1} = \dfrac{1}{n} \times n \times \sum_{n=1}^{m+1} 2^{n-1} =\sum_{n=1}^{m+1} 2^{n-1}\\.\\.\\ Para \ n=1 \rightarrow 2^0=1\\ Para \ n=2 \rightarrow 2^1 = 2\\ Para \ n=3 \rightarrow 2^2 = 4\\ .\\.\\ Para \ n=m+1 \rightarrow 2^{m}\\ Logo: \\ \sum_{n=1}^{m+1} 2^{n-1} = 2^0+2^1+2^2+\cdots+2^{m}\\1+2+4+\cdots+2^{m} = \dfrac{1(2^{m+1}-1)}{2-1}\\ =2^{m+1}-1$

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