Um poligono tem p lados. De quanto

Um poligono tem p lados. De quanto aumenta o número de diagonais se aumentarmos o polígono de um lado?

Gabarito:

Eu não consegui compreender o enunciado, alguém me ajuda?

O que o enunciado quis dizer, na prática, foi o seguinte;

Imagine que esse polígono seja um quadrado (4 lados).

Se transformarmos esse quadrado em um pentágono (5 lados), quantas diagonais teremos agora?


Generalizando o raciocínio:

Imagine que esse polígono seja um quadrado (p lados).


Se transformarmos esse quadrado em um pentágono (p + 1 lados), quantas diagonais teremos agora?



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Neste pentágono, de cada vértice, partem duas diagonais (ex.: EB e EC). Cada vértice não emite uma diagonal para seus vértices consecutivos (ex.: EA e ED) nem para ele mesmo (ex.: EE) e isso se expande para qualquer outro polígono. Portanto, considerando que tenhamos um polígono de n lados, teremos n vértices e n-3 diagonais.

Dessa forma, podemos riscar n*(n-3) diagonais. No entanto, cada diagonal é contada duas vezes (ex.: EB e BE). Assim, o número de diagonais distintas é dado por:

n*n(-3)/2

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Voltando à questão:

Imagine que esse polígono seja um quadrado (p lados). 


p*(p-3)/2 diagonais


Se transformarmos esse quadrado em um pentágono (p + 1 lados), quantas diagonais teremos agora?



(p + 1)*[(p +1) - 3]/2


(p + 1)* (p - 2)/2 diagonais


Aumento do número de diagonais:


(p + 1)* (p - 2) - p*(p-3)
               2

p² - p - 2 - (p² - 3p)
            2

2p - 2
    2

p - 1