Progressões (PG)

Calcular o produto dos 101 termos iniciais da PG alternante em que a51 = -1.

gabarito:

[quote=[oorigoneves]Calcular o produto dos 101 termos iniciais da PG alternante em que a51 = -1.

gabarito:

[/quote]
Boa tarde, Rodrigo,

a51 tem ordem ímpar e é igual a -1.
Significa que os de ordem par são iguais a 1.
Como 101 também é de ordem ímpar também deverá ser igual a -1.

O produto de cada dois termos consecutivos é:
(-1)(+1) = (ordem ímpar)(ordem par) = -1

Portanto fica:
Ordem do termo = (ímpar * par) * (ímpar* par) * (ímpar* par) * ímpar.
produtos ......... = ímpar * ímpar * ímpar * ímpar = ímpar

Resposta: O produto dos 101  termos dessa PG alternante é igual a -1.




Um abraço.

Olá, mestre ivomilton, 
como o senhor concluiu que a PG é formada apenas por -1 e 1? Quer dizer, sendo ela alternante, com a51 = -1, fica claro que todos os termos de ordem ímpar são negativos e todos os de ordem par são positivos; mas, como saber que os positivos devem ser iguais a 1 e os negativos a -1? Pela definição que eu conheço, uma PG é alternante para q < 0, mas não necessariamente q = -1, certo?

rodrigoneves escreveu:Olá, mestre ivomilton, 
como o senhor concluiu que a PG é formada apenas por -1 e 1? Quer dizer, sendo ela alternante, com a51 = -1, fica claro que todos os termos de ordem ímpar são negativos e todos os de ordem par são positivos; mas, como saber que os positivos devem ser iguais a 1 e os negativos a -1? Pela definição que eu conheço, uma PG é alternante para q < 0, mas não necessariamente q = -1, certo?

Boa noite, Rodrigo.

Enganei-me na indução que fiz a respeito.
Estudando sobre produto dos termos de uma PG, encontrei:
http://www.colegioweb.com.br/trabalhos-escolares/matematica/progressao-geometrica/produto-dos-n-primeiros-termos-de-uma-p-g.html

Recalculando:

an = a1*q^(n-1)
a51 = a1*q^(51-1)
-1 = a1*q^50
q^50 = -1/a1

a101 = a51 * q^(101-1)
a101 = a51 * q^50
a101 = (-1) * (-1/a1)
a101 = 1/a1

Escrevendo a referida PG:
a1 ......(50)..... a51......(50)...... a101
.......................a'1 .....(50)....... a'51
....................... -1 .................. 1/a1

Pela fórmula do produto dos termos de uma PG (link acima), fica:
|Pn| = Ѵ(a1*an)ⁿ = √[(a1*1/a1)¹º¹] = √(1)¹º¹ = √1 = 1


Este (1) é o valor absoluto do produto.
Quanto ao sinal, será igual ao sinal do termo central dessa PG, pois:
De A1 a A50 são 50 termos, onde o produto de cada dois termos consecutivos tem sinal negativo  ( -*+ = -).
O mesmo acontece com os termos A52 a A101; são outros 50 termos em que cada grupo de dois termos consecutivos tem sinal negativo (+*-=-).
Assim, do começo ao fim o cálculo do sinal será:
Produto A1*A2*...*A50 = negativo.
Termo médio = negativo (A51=-1).
Produto A52*A53*...*A101 = netativo.

Logo, negativo * negativo * negativo = negativo.

Assim, o produto requerido é igual a (-1).





Um abraço.

Excelente, muito obrigado novamente, mestre.

-1 = a1 * (q)^50 => a1 = -1/(q)^50 (1)

Substituindo (1) em a1 temos : Pn = -1/((q)^50)^101 * (q)^101(101-1)/2 => Pn = -1/q^5050 * (q)^5050 =>

=> Pn = -1