Quadrado e Circunferência

O quadrado ABCD está inscrito numa circunferência de centro na origem, seus lados são paralelos aos eixos coordenados, o vértice A pertence ao primeiro quadrante e o vértice C pertence à reta de equação 2y = -(sqrt3). Qual é a equação da reta perpendicular à diagonal AC pelo ponto A ?


não tenho gabarito

Olá, spawnftw.

Vamos assumir que os vértices estão no sentido anti-horário e que a circunferência tenha raio 1. 

A distância do centro da circunferência ao vértice A(a,b) é igual ao raio. Sabemos ainda que o vértice A é da forma (k,k). Assim:

√[ (a-0)² + (a-0)² ] = 1 .:. 2a² = 1 .:. a = +-√2/2 --> 1° Quadrante: a = √2/2

C pertence à reta de equação 2y = -√3. Seja C(c,d). 

Temos:

2y = -√3 .:. y = -√3/2

Ainda, C satisfaz a equação da circunferência. Assim:

c² + 3/4 = 1 .:. c = +-1/2, c < 0: C(-1/2;-√3/2)

Reta AC:

m = (-√3/2 - √2/2)/(-1/2 - √2/2) .:. m = (-√3-√2)/(-1-√2) .:. m = (√3+√2)/(1+√2) 

reta perpendicular: 

m' * (√3+√2)/(1+√2) = -1 .:. m = -(1+√2)/(√3+√2)

passa por A:

y - √2/2 = -(1+√2)/(√3+√2) * (x-√2/2) .:.
2y - √2 = -(1+√2)/(√3+√2) * (2x-√2) .:. 
(2√3 + 2√2)y - √6 - 2 = -2x + √2 - 2√2x + 2 .:. 
(2+2√2)x + (2√3+2√2)y - 4 - √2 - √6 = 0


Confere pelo GeoGebra.


Abraços,
Pedro

Vejam:

A(k,k); O(0,0); C(a; -√3/2)

o segmento que liga o vértice C ao ponto O, forma 45º com a reta 2y = -√3
logo C(-√3/2,-√3/2)
trigonometria no triângulo, R = √ 6/2 => D = √ 6

dAC = 6 = (k + √3/2)² + (k + √3/2)² <=> 3 = (k + √3/2)²
logo k = 3√ 3/2 o que resulta em A(√ 3/2, √ 3/2)  (uma raiz ali não serve, A 1º quadrante.)

reta que passa por AC, obviamente também passa por O
determinante nos ponto A e O
(3√3/2)y - (3√3/2)x = 0 o coeficiente angular desta reta é m = 1

a reta que procuramos é perpendicular a esta; m.m' = -1 <=> m' = -1

essa reta passa por A: y - √ 3/2 = -1(x - √ 3/2)

Portanto a reta que procuramos é x + y - √ 3 = 0

O que você falou da raiz e primeiro quadrante não faz sentido. Contanto que k > 0, A pertence ao primeiro quadrante.

então ué onde não faz sentido?
uma raiz ali é k < 0 logo não serve.
já viu coordenadas no 1 quadrante negativo? eu nunca vi

Ora. Desde quando 3√3/2 é < 0 ?

Raiz quadrada é sempre um número positivo.

Tem um erro. Em 3 = (k+√3/2)², as possibilidades são:

√3 = k + √3/2 .:. k = √3/2
Ou
-√3 = k + √3/2 .:. k = -3√3/2

O primeiro caso serve; o segundo não.

... :scratch:
Pedro é isso mesmo que quis dizer lá oO
Veja que são dois valores de k que satisfazem a equação
3 = (k+√3/2)², chamei k de raiz
agora Leia o que eu disse na minha 1 mensagem
"uma raiz ali não serve, A 1º quadrante.)"
a raiz que não serve é quando k < 0
Pois o ponto é A(k,k) e pertence ao primeiro quadrante.

não tem erro não. Pelo menos não vejo.

Ah..foi uma confusão de semântica. 

Veja:

uma raiz ali não serve

imaginei que o que você quis dizer foi um número irracional não serve, e não uma das soluções não serve.

Mas mesmo assim, veja:

A(3√ 3/2, 3√ 3/2) 

Isso está errado. Ou k = -3√3/2 ou k = √3/2. No caso então, A(√3/2, √3/2).

A reta correta no final é √3x + √3y - 3 = 0 (conferido no GeoGebra).

Entende o meu questionamento?

Abraços,
Pedro

entendi,
só respondi essa questão por que já fiz ela ainda me lembro +/- ahah.

e o gabarito é  x + y - 2√ 3 ou  x + y - √ 3 não me lembro ao certo.

coloquei o "ou" apenas que é uma ou outra, não que existem duas retas perpendiculares por A. Até por que isso seria um absurdo.

outro modo:

• O quadrado ABCD está inscrito numa circunferência de centro na origem, seus lados são paralelos aos eixos coordenados, o vértice A pertence ao primeiro quadrante e o vértice C pertence à reta de equação 2y = -(sqrt3). Qual é a equação da reta perpendicular à diagonal AC pelo ponto A ?
  

Se a circunferência tem centro na origem e os lados do quadrado são paralelos aos eixos, então, por simetria, seus vértices estão nas bissetrizes do 1º e 2º quadrantes.

C ∈ y = -√3/2 ........e....... C ∈ y =x -----> C=(-√3/2, -√3/2)
e, por simetria,
A = (√3/2, √3/2)
reta AC ≡ y = x -----> m = 1

queremos eq. de reta r ⊥ AC ----> m' = -1

(r): y = -1.x + b
no ponto A: -√3/2 = -1.√3/2 + b -----> b = √3

(r): y = -x + √3
ou, x + y - √3 = 0

=================== obs:

C=(-√3/2, -√3/2) ------> R = (√3/2)*√2 = √6/2 -----> R² = 3/2 -----> circunferência: x² + y² = 3/2

=================== outro modo de pensar:

A=(√3/2, √3/2)
r ⊥ (y=x) ------> (r): y = -x
Mas r passa por A. Então precisamos deslocar a reta y=x para cima. Qual o intercepto de r no eixo das ordenadas? Por simetria, percebemos que será 2 vezes a ordenada de A, ou seja,
2*yA = 2*√3/2 = √3
Logo,
(r): y = -x + √3