Quadrado

por Munique de Almeida Ramiro Qui 21 Abr 2016, 21:11

Considere um quadrado ABCD e E e F pontos de CB e DC, respectivamente:
a) Mostre que o quadrilátero MNPQ formado unindo-se os pontos médios dos lados de um quadrado é um quadrado. Justifique sua resposta.
b) Se o lado do quadrado ABCD tem medida de 4 cm, qual a medida do lado do quadrado MNPQ? Justifique sua resposta.
c) Traçe o seguimento de reta AE que faz um ângulo de 30° com o seguimento AB. Encontre as medidas de AE e EB, sabendo que AB=4 cm. Justifique sua resposta.
d) Traçe o seguimento AF, que faz um ângulo de 60° com o segmento de reta AB. Encontre a medida de FE, sabendo que AB=4 cm. Justifique sua resposta.

por **Christian M. Martins** Qui 21 Abr 2016, 23:15

a) Trace as retas que formam o quadrilátero MNPQ, seguido de suas duas diagonais, que se interceptam no ponto O. Repare que os triângulos OMN, ONP, OPQ e OQM são congruentes, de forma que o quadrilátero em questão seja um quadrado.

b) Seguindo com a figura anterior, repare que no triângulo OMN tem-se OM = ON = 4/2 = 2 cm. Realizando pitágoras: l² = 2² + 2² ---> l = 2√(2) cm

c) Trace a reta AE. Utilizando razões trigonométricas no triângulo retângulo ABE tem-se:

cos(30°) = AB/AE ---> AE = AB/cos(30°) = 8√(3)/3 cm

tg(30°) = BE/AB ---> BE = ABtg(30°) = 4.√(3)/3 cm

d)

Pela imagem ao lado nota-se que ∆ABE ≅ ∆ADF por ALA, de forma que ∆AEF e ∆EFC sejam iscósceles. Os ângulos internos de ∆EFC, portanto, possuem medida de 45°, 90° e 45°. Utilizando razões trigonométricas no triângulo retângulo ∆EFC, por fim:

$\overline{EC} = \overline{CF} = \overline{BC} - \overline{BE} = 4 - \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{4(3 - \sqrt{3})}{3}\; \; \; cm$

$cos(45\degree) = \frac{\overline{EC}}{\overline{EF}} \rightarrow \overline{EF} = \frac{\overline{EC}}{cos(45\degree)} = \frac{4\sqrt{2}(3 - \sqrt{3})}{3} \; \; \; cm$

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