Quadrado

5.57) Seja E (-2; 3) o centro de um quadrado ABCD. Sabendo que a reta AB tem. equação
x - 2y + 3 = O, determine as equações das retas que contêm as diagonais do quadrado.

- marque no plano coordenado o ponto E( - 2, 3 )

- os pontos A e B ( vértices ) pertencem à reta:

2y = x + 3 -> y = ( 1/2 ) x + ( 3/2 ) -> reta t


- reta ( s ) que é perpendicular à reta ( t ) e que passa pelo ponto E( - 2, 3 ):

y - 3 = - 2*( x + 2 )

y = - 2x - 1 -> ( s )


- interseção das retas (t) e (s):


( 1/2 )*x + ( 3/2 ) = - 2x - 1

( 1/2 )*x + 2x = - 1 - (3/2)

x = - 1 e y = 1 -> ponto I( -1, 1 )


- distância do ponto E( -2 , 3 ) ao ponto I( - 1, 1 ):

d² = ( - 2 + 1 )² + ( 3 - 1 )² = \/5


- sendo a distância EI igual à metade do lado:

- circunferência de centro C( -1 , 1 ) e raio igual a \/5

( x + 1 )² + ( y - 1 )² = 5

- interseção da circunferência com a reta (s):

( x + 1 )² + ( (1/2)x + (3/2) - 1 )² = 5

x² + 2x - 3 + 0 

raízes: x = 1 ou x = - 3 ->


para x = 1 -> y = 2 -> B( 1, 2 )

para x = - 3  -> y = 0 -> A( - 3, 0 )


- temos as diagonais AC e BD

- o ponto E( - 2, 3 ) é médio da diagonal AC -> xE = (xC + xA )/2 -> xC = - 1

yE = ( yC +yB )/2 -> yC = 6 -> C( - 1, 6 ) 


- o ponto E( -2, 3 ) é médio da diagonal BD

xE = ( xB + xD )/2 -> xD = - 5 -> yE = (yD + 2)/2 -> yD = 4 -> D( - 5, 4 )



- encontrados os vértices encontre as equações das diagonais.


confira os cálculos.