(UFMG) Geometria

Observe a figura:



Nessa figura, as retas t1 e t2 são tangentes às circunferências C1 e C2, respectivamente, nos pontos T1 e T2. A reta AB é perpendicular à reta que passa pelos centros O1 e O2 das circunferências.

Sabe-se, também, que:

AT1 = AT2

o raio de C1 é 5 e o raio de C2 é 1; e O1O2 = 12. Assim sendo, calcule O1B e O2B.

R: O1B = 7 e O2B = 5

Una O1 a T1 e O2 a T2 e trace pontiulhado O1A e O1B.

Vamos fazer:

O1B = x
O2B = y
T1A = T2A = m

O1T1 = 5
O2T2 = 1
O1O2 = 12 -----> x + y = 12

Triângulos AT1O1 e AT2O2 são retângulos em T1 e T2:

O1A² = T1A² + O1T1² -----> O1A² = m² + 5² ----> O1A² = m² + 25 ----> I
O2A² = T2A² + O2T2² -----> O2A² = m² + 1² ----> O2A² = m² + 1 ----> II

I - II ----> O1A² - O2A² = 24 -----> Equação III

O1A² = O1B² + AB² -----> O1A² = x² + AB² ----> Equação IV
O2A² = O2B² + AB² -----> O2A² = y² + AB² ----> Equação V

IV - V -----> O1A² - O2A² = x² - y² ----> Equação VI

III = VI -----> x² - y² = 24

(x + y)*(x - y) = 24 -----> 12*(x - y) = 24 -----> x - y = 2

x + y = 12
x - y = 2

Resolvendo -----> x = 7, y = 5

Ilustrando a solução de Elcioschin.




Trace KC e KA ,e YD e YA e formará os e ,respectivamente.De acordo com os dados do enunciado temos que AC=AD=b,e também AC e AD são tangentes as circunferências,aplicando que a Normal a uma curva plana passando pelo centro da mesma é perpendicular à tangente ao ponto de tangência.Teremos que e .

Aplicando o Teorema de Pitágoras nos - e ;- e teremos:

-





-



Igualando com teremos:

, logo

Então e