circunferência

por PalomaMenezes Qua 17 Set 2014, 20:32

Dados os pontos P = (3, −2) e Q = (5, 2), seja r a mediatriz do segmento PQ.
A distância de r à circunferência C: x^2 + 4x + y^2 = 1 é igual a
Resposta: √ 5/5

por PedroCunha Qua 17 Set 2014, 21:02

Olá.

Ponto médio do segmento PQ:

m[ (3+5)/2 ; (-2+2)/2 ] .:. m(4,0)

Reta r que passa por m e é perpendicular a reta PQ:

m_{PQ} = (2-(-2))/(5-3) .:. m_{PQ} = 2

m_r * m_{PQ} = -1 .:. m_r = -1/2

r: y - 0 = -1/2 * (x - 4) .:. 2y = -x + 4 .:. x + 2y - 4 = 0

Equação reduzida de C:

x²+4x+y² = 1 .:. x²+4x+4+y² = 5 .:. (x+2)² + y² = √5²

Centro (-2,0) e raio √5. Distância de r à circunferência:

d = |1*-2 + 2*0 - 4|/√( 1² + 2² ) .:. d = 6/√5 .:. d = 6√5/5

Assim, a distância pedida é 6√5/5 - √5 = √5/5

Att.,
Pedro

por **Medeiros** Qua 17 Set 2014, 21:15

Pedro, um descuido seu:

6√5/5 é a distância do centro da circunferência à reta r. Deve-se descontar a medida do raio.

a dist. da circunf. à reta será: d = d(C,r) - Raio = 6√5/5 - √5 ----> d = √5/5

por **mauk03** Qua 17 Set 2014, 21:16

Coeficiente angular da reta PQ:
m = (2 - (-2))/(5 - 3) = 2

Ponto médio de P e Q:
M = ((3 + 5)/2, (-2 + 2)/2) = (4, 0)

A reta r passa por M e é perpendicular à reta PQ.
Logo seu coeficiente angular é m' = -1/m = -1/2. Equação de r:
y = (-1/2)(x - 4) --> x + 2y - 4 = 0

Centro de C:
(x² + 4x + 4) - 4 + y² = 1 --> (x + 2)² + y² = 5
.:. P(-2, 0) é o centro e R = √5

Distância de r ao centro de C:
d(r, P) = |axo + byo + c|/√(a² + b²) = |1*(-2) + 2*0 - 4|/√(1² + 2²) = 6/√5

A distância de r a circunferência é igual a distância d(r, P) menos o raio da circunferência:
d(r, C) = d(r, P) - R = 6/√5 - √5 = 1/√5 = √5/5