Queda de corpos

por Cinzu Qua 17 Set 2014, 02:55

Um objeto A é abandonado do alto de um prédio. Após 0,5 segundos, um segundo objeto B é lançado para baixo do mesmo local com velocidade inicial de 2 m/s. Ambos objetos atingem o solo no mesmo instante. Determine a altura do prédio.

por PedroCunha Qua 17 Set 2014, 03:47

Olá.

Distância percorrida pelo corpo A em função do tempo até atingir o chão:

\\ V_f^2 = V_0^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta S \therefore (10t)^2 = 0^2 + 2 \cdot 10 \cdot H \therefore \frac{100t^2}{20} = H \\\\ \Leftrightarrow H = 5t^2

Distância percorrida pelo corpo B em função do tempo até atingir o chão:

\\ V_f^2 = V_0^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta S \therefore [2 + 10(t-0,5)]^2 = 2^2 + 2 \cdot 10 \cdot H \therefore \\\\ 100t^2 - 60t + 9 = 4 + 20H \therefore 100t^2 - 60t + 5 = 20H \therefore \\\\ \frac{5 \cdot (20t^2 - 12t + 1)}{20} = H \Leftrightarrow H = \frac{20t^2 - 12t +1}{4}

Igualando os dois valores encontrados:

\\ 5t^2 = \frac{20t^2 - 12t + 1}{4} \therefore t = \frac{1}{12}s

Assim, a altura do prédio é: 5 \cdot \left( \frac{1}{12} \right)^2 \approx 0,35m

Tem certeza que o intervalo de tempo e a velocidade estão corretos? Não existe um prédio com 0,35m de altura.

Att.,
Pedro

por Cinzu Qua 17 Set 2014, 14:53

Sim, é isso mesmo. O segundo corpo foi lançado 0,5s depois. Tem certeza que é essa resolução?

Pois eu imagino que teremos a função horária da posição em função do tempo, onde teremos a aceleração (9,8m/s²). Eu tentei montar uma equação para o ponto A e outra para o ponto B, depois igualar as duas. Mas mesmo assim não consegui encontrar a altura.

Não tenho o gabarito, mas o professor disse que a altura é bem alta.

por PedroCunha Qua 17 Set 2014, 16:17

É t - 0,5 pois o corpo tem 0,5 segundo a menos para percorrer o mesmo espaço. Fazendo pela equação horários dos espaços:

Para o corpo A:

\\ S = h + 4,9t^2

Para o corpo B:

\\ S = h + 2(t-0,5) + 4,9(t-0,5)^2

Igualando as duas:

\\ h+4,9t^2 = h+2(t-0,5)+4,9(t-0,5)^2 \Leftrightarrow t \approx 0,077s

Assim, h \approx 0,30m

A diferença é porque usei 9,8m/s² e não 10m/s² como aceleração da gravidade.

Mas alguma coisa tem que estar errada, pois t < 0,5 e isso não pode ocorrer. Mas não é um erro na resolução, pois veja esse outro exercício que trás o mesmo princípio por trás de sua resolução:

Em t = 0, uma pedra é largada do topo de um penhasco, acima de um lago. Outra pedra é atirada para baixo, 1,6 s após, do mesmo ponto e com uma velocidade inicial de 32 m/s. As duas pedras atingem a água no mesmo instante. Encontre a altura do penhasco.

Resposta: 28m

Corpo A: S = h + 4,9t²
Corpo B: S = h + 32(t-1,6) + 4,9(t-1,6)²

S = S --> 4,9t² = 32t - 51,2 + 4,9(t²-3,2t+2,56) .:. 4,9t² = 32t - 51,2 + 4,9t² - 15,68t + 12,544 .:.
16,32t-38,656 = 0 .:. t = 2,36862s --> h ~ 28m

Se seu professor resolver, ficarei grato de ver a resolução, porque acredito que com esses dados, não exista solução, pois t = \frac{1}{12} s não é solução

Att.,
Pedro

por **Euclides** Qua 17 Set 2014, 17:52

Cinzu e Pedro,

se eu estiver fazendo uma leitura correta do exercício, ele não tem solução. O segundo corpo é lançado para baixo com velocidade de 2 m/s quando o outro está 1,25 m à frente e com velocidade de 5 m/s e, portanto, nunca será alcançado.

um segundo objeto B é lançado para baixo do mesmo local com velocidade inicial de 2 m/s

por PedroCunha Qua 17 Set 2014, 18:05

Foi por isso que t < 0,5 certo, Euclides?

por **Euclides** Qua 17 Set 2014, 18:21

PedroCunha escreveu:Foi por isso que t < 0,5 certo, Euclides?

Nem fiz qualquer conta. Desde de que não tem solução fisicamente, qualquer matemática é dispensável. Provavelmente o resultado daria um tempo negativo.

por PedroCunha Qua 17 Set 2014, 18:23

Mas a ideia que utilizei na minha resolução está correta, Euclides? A matemática por trás das minhas contas.

por **Euclides** Qua 17 Set 2014, 18:27

PedroCunha escreveu:Mas a ideia que utilizei na minha resolução está correta, Euclides? A matemática por trás das minhas contas.

Você seguiu o procedimento padrão no encontro de dois móveis. Ao encontrar um resultado incompatível devia ter acendido a "luz vermelha" e podia declarar a questão sem solução.