complexos 2

por JoaoLeal96 Qui 11 Set 2014, 09:22

Relembrando a primeira mensagem :

calcule a raiz cubica de -11- 2i.
gabarito: 1+2i
-(1+ 2raiz 3)/2 + {(raiz 3) -2}i/2
-(1-2raiz 3)/2 - {(raiz 3) -2}i/2
desculpe nao ter postado antes

por PedroCunha Qui 11 Set 2014, 13:45

Segue outra maneira:

fatoração clássica de polinômios utilizando as raízes:

\\ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0 = a_n(x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot \dots (x-x_n)

Assim, sabendo 1+2i é raiz da equação z^3+(11+2i) , temos:

\\ z^3 + (11+2i) = (z - (1+2i) ) \cdot (az^2 + bz + c) \therefore \\\\ z^3 + 11 + 2i = az^3 + z^2 \cdot (b-a-2ai) + z \cdot (c-b-2bi) - (c+2ci)

Por igualdade entre polinômios:

\\ a = 1 \\ b -a - 2ai = 0 \therefore b -1 - 2i = 0 \therefore b = 1+2i \\ c-b-2bi = 0 \therefore c - (1+2i) - 2 \cdot (1+2i) \cdot i = 0 \therefore c = -3+4i

Logo, \\z^3 + (11+2i) = [ z - (1+2i) ] \cdot [ z^2 + (1+2i)z + (-3+4i)]

Você podia ainda resolver por soma e produto se quisesse, chamando as raízes desconhecidas de z_1 = a+bi e z_2 = c+di .

Você que escolhe, Very Happy

.

Abraços,
Pedro

por **Ashitaka** Qui 11 Set 2014, 16:04

Parabéns pela solução, Pedro. Vou até adicionar esse post aos favoritos Smile

por PedroCunha Qui 11 Set 2014, 17:49

Valeu, Ashitaka.

Vou deixar a resolução por Girard aqui:

\\ 1+2i + a+bi + c + di = 0 \therefore (a+c+1) + i \cdot (2+b+d) = 0 \Leftrightarrow a = -1-c, b = -d-2 \\\\ (1+2i) \cdot (a+bi) \cdot (c+di) = -11-2i \therefore ac + adi + bci + bdi^2 = -3+4i \therefore \\\\ (ac - bd) + i \cdot (ad + bc) = -3 + 4i \\\\ \Leftrightarrow ac-bd = -3 , ad+bc = 4 \\\\ \begin{cases} a = -1-c \\ b = -d- 2 \\ ac-bd = -3 \\ ad+bc = 4 \end{cases} \\\\ \Leftrightarrow a = -\frac{1}{2} - \sqrt 3,b = \frac{\sqrt3 -2}{2}, c= \sqrt3 - \frac{1}{2}, d = -1-\frac{\sqrt3}{2} \\\\ \text{ ou } \\\\ \Leftrightarrow a = \sqrt3 - \frac{1}{2}, b= -1-\frac{\sqrt3}{2}, c = -\frac{1}{2} - \sqrt3, d = \frac{\sqrt3 - 2}{2}

Testando, vê-se que só o segundo caso serve. Bem mais trabalhoso, mas é uma maneira se o aluno não tiver visto Briot-Ruffini ou a fatoração por raízes e identidade entre polinômios.

Abraços,
Pedro

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