complexos
2 participantes
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
complexos
por christian Dom 15 Jan 2012, 11:00
se |z-2| = 1 , quais os valores maximo e minimo que |z+i| pode ter ?
é discursiva , sem gabarito
é discursiva , sem gabarito
christian- Mestre Jedi
- Mensagens : 865
Data de inscrição : 13/06/2011
Idade : 31
Localização : Rio de Janeiro - Brasil
Re: complexos
por Victor M Dom 15 Jan 2012, 16:12
Olá christian,
Seja z =a +bi, pelo enunciado:
|(a-2) + bi| = 1
(a-2)² + b² =1 então podemos fazer:
a-2 = cos u = > a = 2 + cos u
b= sen u
Observe agora que:
|z+i|² = a² + (b+1)²
|z+i|² = (cos u + 2)² + (sen u + 1)²
|z+i|² = cos²u + 4cosu + 4 + sen²u + 2senu+1
|z+i|² = 6+2(2cosu + sen u).
Veja que:
2cosu + sen u= sqrt(5)*(2*cosu/sqrt(5) + sen u/sqrt(5))
Seja v = arc sen(2/sqrt(5))
2cosu + sen u = sqrt(5)*(senv*cos u + senu *cosv)
2cosu + sen u= sqrt(5)*[sen(v+u)]
Logo:
-sqrt(5) <=(2cosu + sen u) <=sqrt(5)
Para o valor máximo:
|z+i|² = 6+2sqrt(5)
|z+i| = sqrt[6+2sqrt(5)]
Para o mínimo:
|z+i|² = 6 - 2sqrt(5)
|z+i| = sqrt[6-2sqrt(5)]
Cumprimentos, Victor M.
Seja z =a +bi, pelo enunciado:
|(a-2) + bi| = 1
(a-2)² + b² =1 então podemos fazer:
a-2 = cos u = > a = 2 + cos u
b= sen u
Observe agora que:
|z+i|² = a² + (b+1)²
|z+i|² = (cos u + 2)² + (sen u + 1)²
|z+i|² = cos²u + 4cosu + 4 + sen²u + 2senu+1
|z+i|² = 6+2(2cosu + sen u).
Veja que:
2cosu + sen u= sqrt(5)*(2*cosu/sqrt(5) + sen u/sqrt(5))
Seja v = arc sen(2/sqrt(5))
2cosu + sen u = sqrt(5)*(senv*cos u + senu *cosv)
2cosu + sen u= sqrt(5)*[sen(v+u)]
Logo:
-sqrt(5) <=(2cosu + sen u) <=sqrt(5)
Para o valor máximo:
|z+i|² = 6+2sqrt(5)
|z+i| = sqrt[6+2sqrt(5)]
Para o mínimo:
|z+i|² = 6 - 2sqrt(5)
|z+i| = sqrt[6-2sqrt(5)]
Cumprimentos, Victor M.
Victor M- Elite Jedi
- Mensagens : 408
Data de inscrição : 18/01/2011
Idade : 28
Localização : São José dos Campos
Re: complexos
por christian Dom 15 Jan 2012, 16:33
só nao entendi a logica de por o V5 , nao altera em nada , mas... pq ?
christian- Mestre Jedi
- Mensagens : 865
Data de inscrição : 13/06/2011
Idade : 31
Localização : Rio de Janeiro - Brasil
Re: complexos
por Victor M Dom 15 Jan 2012, 17:19
é uma técnica bem conhecida para encontrar maximos e minimos de funções trigonometricas, de uma forma geral temos o seguinte resultado:
-sqrt(a²+b²) ≤ a*sen(x) + b*cos(x) ≤ sqrt(a²+b²)
Demo.:
a*sen(x) + b*cos(x) = sqrt(a²+b²)[a*sen(x)/sqrt(a²+b²) + b*cos(x)/sqrt(a²+b²)]
Seja v = arc cos[a/sqrt(a²+b²)]:
a*sen(x) + b*cos(x) = sqrt(a²+b²)*sen(v+x)
Como -1≤sen(v+x)≤1, chegamos ao resultado desejado. cqd.
na questão temos o caso a=1 e b= 2, por isso eu usei a √5.
-sqrt(a²+b²) ≤ a*sen(x) + b*cos(x) ≤ sqrt(a²+b²)
Demo.:
a*sen(x) + b*cos(x) = sqrt(a²+b²)[a*sen(x)/sqrt(a²+b²) + b*cos(x)/sqrt(a²+b²)]
Seja v = arc cos[a/sqrt(a²+b²)]:
a*sen(x) + b*cos(x) = sqrt(a²+b²)*sen(v+x)
Como -1≤sen(v+x)≤1, chegamos ao resultado desejado. cqd.
na questão temos o caso a=1 e b= 2, por isso eu usei a √5.
Victor M- Elite Jedi
- Mensagens : 408
Data de inscrição : 18/01/2011
Idade : 28
Localização : São José dos Campos
christian- Mestre Jedi
- Mensagens : 865
Data de inscrição : 13/06/2011
Idade : 31
Localização : Rio de Janeiro - Brasil
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
