Distribuição de prêmios

Entre cinco pessoas, a Ana, a Berta, o Carlos, o Dinis e a Elsa, vão ser distribuídos três prêmios iguais. Sabe-se que a mesma pessoa  pode receber mais do que um prêmio. Assim, no final, pode haver, pode haver uma, duas ou três pessoas premiadas.

i) De quantas maneiras podem ser distribuídos os três prêmios? Resp. 35 maneiras

ii) Suponha que a distribuição dos prêmios é feita por sorteio da forma seguinte: atribui-se a cada pessoa um número de 1 a 5. De igual modo numeram-se cinco bolas, indistinguíveis ao tato, e introduzem-se num saco.
Retira-se, ao acaso, uma bola do saco e atribui-se à pessoa com o mesmo número da bola um dos prêmios. Repõe-se a bola no saco e repete-se o processo até todos os prêmios sejam atribuídos.
Qual a probabilidade de:

a) os prêmios serem atribuídos a três pessoas diferentes;Resp.. 60/125
b) o Dinis receber um, e um só, dos três prêmios; Resp.: 48/125
c) o Dinis ser premiado? Resp.: 61/125

Hola.

Cada uma das 5 pessoas podem receber os 3 prêmios, temos: C5,1 = 5 maneiras disso acontecer.

Cada uma das 5 pessoas podem receber apenas 1 prêmio, temos: C5,3 = 10 maneiras disso acontecer.

Uma pessoa pode receber 2 prêmios e uma outra recebe 1 prêmio, temos: 
C5,1 * C4,1 = 20 maneiras disso acontecer.

Portanto: 5 + 10 + 20 = 35

Obrigado

Para essa questão que a resposta é 35, eu fiz:  a+b+c+d+e = 3
com essa equação dá 7 escolhe 2 e a resposta daria 21. Por que tá errado fazer isso?