Esfera incrita em cone - UFMG
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Esfera incrita em cone - UFMG
por sabinex3 Ter 02 Set 2014, 08:34
(UFMG) Um cone circular reto de eixo vertical, com altura
igual a V3 m e raio da base igual a 1 m, está cheio de
água. Uma esfera é colocada no cone até se apoiar na
parede do mesmo, de modo que os centros da esfera
e da base do cone coincidam. Retirada a esfera, qual
o volume da água que fica no cone?
RESP: (∏V3/12)
igual a V3 m e raio da base igual a 1 m, está cheio de
água. Uma esfera é colocada no cone até se apoiar na
parede do mesmo, de modo que os centros da esfera
e da base do cone coincidam. Retirada a esfera, qual
o volume da água que fica no cone?
RESP: (∏V3/12)
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Re: Esfera incrita em cone - UFMG
por Medeiros Ter 02 Set 2014, 22:00
Os centros coincidem, então é a situação mostrada na figura, em que o raio da esfera é menor do que o da base do cone.
g² = R² + h² = 1² + (√3)² -----> g = 2 m
Note, no plano do desenho, dois triângulos semelhantes.
r/R = h/g -----> r = √3/2 m
O volume de água inicialmente no cone é o volume do cone:
V = (1/3).pi.R².h = pi.√3/3 m³
O volume de água que a esfera expulsa do cone equivale (teoricamente) ao de uma semi-esfera, pois seu centro coincide com o da base do cone. Esse volume é:
V' = (1/2).(4/3).pi.r³ = (2/3).pi.3√3/8 = pi.√3/4 m³
O volume de água remanescente será a diferença destes dois volumes, o inicial e o que foi expulso.
∆V = V - V' = pi.√3.[1/3 - 1/4]
∆V = pi.√3/12 m³
g² = R² + h² = 1² + (√3)² -----> g = 2 m
Note, no plano do desenho, dois triângulos semelhantes.
r/R = h/g -----> r = √3/2 m
O volume de água inicialmente no cone é o volume do cone:
V = (1/3).pi.R².h = pi.√3/3 m³
O volume de água que a esfera expulsa do cone equivale (teoricamente) ao de uma semi-esfera, pois seu centro coincide com o da base do cone. Esse volume é:
V' = (1/2).(4/3).pi.r³ = (2/3).pi.3√3/8 = pi.√3/4 m³
O volume de água remanescente será a diferença destes dois volumes, o inicial e o que foi expulso.
∆V = V - V' = pi.√3.[1/3 - 1/4]
∆V = pi.√3/12 m³
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