Quantidade de degraus

Renata desce andando uma escada rolante que se move para cima e conta 150 degraus. Sua irmã Fernanda sobe andando a mesma escada e conta 75 degraus. Se a velocidade de Renata (em degraus por unidade de tempo) é três vezes a velocidade de Fernanda, determine quantos são os degraus visíveis em qualquer instante.
R: 120.

Fiquei um bom tempo nesta questão (1 semana), mas cheguei.
Segue a resolução:


Vr = Velocidade de Renata
t3 = Tempo que renata utiliza para descer a escada

Vf = Velocidade de Fernanda
T4 = Tempo que Fernanda utiliza para subir a escada

d = distância, degraus visíveis, (O que queremos encontrar)

Ve = Velocidade da escada rolante, ou seja, taxa de aparecimento ou recolhimento de degraus por tempo. No começo da escada há o aparecimento de degraus, no fim, o recolhimento destes. 

Relações obtidas pelo enunciado:

1eq.: Vr = 3 Vf | 2eq.: Vr.t3 = 150 -> Vr = 150/t3 | 3eq.: Vf.t4 = 75 -> Vf = 75/t4 



(Substituindo na 1eq.)
         Vr = 3 Vf
150/t3 = 3 * 75/t4
(Simplificando a expressão.)

   4eq.:     t4 = 1,5t3


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Criam-se sistemas:


150 - Ve.t3 = d



(Explicação da eq. acima: A quantidade de degraus (150) andados é uma quantidade maior que o necessário para atravessar a escada se estivesse parada, portanto dos 150 são retirados Ve.t3, que nada mais é do que a multiplicação da velocidade da escada pelo tempo que o indivíduo completa 150 degraus, isto faz a igualdade com a d).


---


75 + Ve.t4 = d


(Explicação da eq. acima: Quase o mesmo princípio, o indivíduo anda menos que o necessário (75 degraus), portanto este é compensado com a velocidade do elevador, que desta vez facilita, pois esta no mesmo sentido. 


Artimanhas de Cálculo:




(substituindo o t4 pelo t3 pela 4eq na eq: 75 + Ve.t4 = d) fica:


75 + Ve*1,5*t3 = d

(multiplicando ambos os lados da eq: 150 - Ve.t3 = d , por 1,5 temos:)


1,5*150 - Ve*1,5*t3 = d*1,5


(fazendo um sistema para as duas equações acima e somando suas partes:)

1,5*150 - Ve*1,5*t3 = d*1,5
75          + Ve*1,5*t3 = d


300 + 0 = 2,5*d

(Finalizando com mat. básica)

d = 120




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Eu e mais um colega demoramos bastante tempo para resolver, mas valeu a pena.
Abraços e bons estudos.

Olá, BieelsZaitsev

inicialmente muito te parabenizo pela disposição para resolver esta questão e pela persistência nesse tempo que levou com seu amigo. Eu já tinha até esquecido de ter postado essa questão aqui xD
Vim apresentar 3 soluções:
A 1ª, eu fiz tentando reproduzir a técnica que utilizei para resolver a primeira vez, mas acabou dando outro caminho e sendo uma solução diferente;
A 2ª é a mais fácil que encontrei, mas não fui eu quem a desenvolveu;
A 3ª (em inglês) é exatamente a que eu tinha feito pela primeira vez e tentei reproduzir na 1ª solução; achei ela aqui no computador e postarei.

Primeira solução:
3f ---> velocidade da Renata;
f ----> velocidade da Fernanda;
e ---> velocidade da escada;
x ---> quantidade de degraus.

Para Renata:
150 = 3f/t1 ----> 50 = f/t1 I
150 - x = e/t1 II

explicação dessa última equação: imagine que a escada começa onde ela está mas não tem fim; porém, em um ponto dessa escada sem fim, o plano do chão a corta; e imagine que a escada está parada. Sabemos que após a Renata descer esses 150 degraus, ela já estará abaixo do chão e parará; daí, a escada começa a subir com velocidade e e a deixa no plano do chão, após andar uma distância 150-x. Tudo isso ocorre num tempo t1. O movimento final pode ser visto como uma composição do movimento da Renata + movimento da escada durante o mesmo tempo t1.

Para Fernanda:
75 = f/t2 III
x - 75 = e/t2 IV

explicação dessa última equação: Fernanda anda 75 degraus sozinha com velocidade f e a escada a leva para cima x-75 degraus, com velocidade e no mesmo tempo t2.

Dividindo I/II e III/IV:
50/(150-x) = f/e
75/(x-75) = f/e

Igualando essas duas últimas equações:
50/(150-x) = 75/(x-75)
x = 120

Segunda solução:
x ---> quantidade de degraus;
e ---> velocidade da escada;
f ---> velocidade da Fernanda em relação à escada;

No tempo que a Renata anda 150 degraus com 3f, a escada anda 150-x com velocidade e:
150/(3f) = (150-x)/e

No tempo que a Fernanda anda 75 degraus com f, a escada anda 75+x com velocidade e:
75/f = (75+x)/e

Agora basta dividir, membro a membro, uma equação pela outra e encontrar x = 120.

Terceira solução:


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Note que a 1ª solução foi baseada na composição dos movimentos que resultaram na situação final; a 2ª baseou-se no tempo, que era igual em cada caso; e a 3ª baseou-se na relação entre as velocidades.
Mas, como um todo, todas elas estão relacionadas... apenas foram montadas utilizando raciocínios diferentes.

Caramba, que questão heim! haha
Eu compreendi melhor a resolução em inglês. Mas todas estão de parabéns.