Determine uma parametrização

por Gilson dos santos lima 20/8/2014, 9:01 pm

Seja C a curva de intersecção entre as superfícies x∧2 + y∧2 + z∧ 2 = 1 e z = x + 1 . Determine uma parametrização para C e a reta tangente à curva C no ponto P = ( - 1/2 , √ 2/2 , 1/2 ).

por Man Utd 20/8/2014, 11:02 pm

Olá

Faça a intercessão de $x^2+y^2+z^2=1 \;\;\; \wedge \;\;\; z=x+1$ e obtenha a elipse : $\frac{\left(x+\frac{1}{2} \right )^2}{\left(\frac{1}{2} \right )^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2}=1$

logo a parametrização é : $\gamma(\theta)=\left( \frac{cos\theta-1}{2},\frac{\sqrt{2} sen\theta}{2}, \frac{1+cos\theta}{2} \right)$ com $0 \leq \theta \leq 2\pi$ .

Já sabemos que a eq. da reta tangente é dada por : $r: \;\;\;\;\;\; X=\gamma(\theta)+\lambda\gamma^{\prime}(\theta)$ .Veja que o valor de $\theta$ que satisfaz o ponto P = ( - 1/2 , √ 2/2 , 1/2 ) é $\frac{\pi}{2}$ logo a eq. da reta tangente é :

$r: \;\;\;\;\;\; X=\gamma\left(\frac{\pi}{2} \right)+\lambda\gamma^{\prime}\left( \frac{\pi}{2} \right)$

ainda não terminou ,sabendo que $\gamma\left(\frac{\pi}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2} \right )$ ,obtenha $\gamma^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)$ derivando $\gamma\left(\theta\right)$ e aplicando em $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

por Gilson dos santos lima 21/8/2014, 9:23 am

Bom dia minha equação da elipse ficou ( ( x + 1/2 )∧2 )/ ( 1/2 )∧2 + ( ( y/√ 2)∧2)/ ( 1/2 )∧2. Tem algum erro. Minha reta tangente ficou r(t)= ( - 1/2 - t/2 , √ 2/2 , 1/2 -t/2 )

por Man Utd 21/8/2014, 9:57 am

Gilson dos santos lima escreveu:Bom dia minha equação da elipse ficou ( ( x + 1/2 )∧2 )/ ( 1/2 )∧2 + ( ( y/√ 2)∧2)/ ( 1/2 )∧2. Tem algum erro.

Olá

Veja :

$\\\\\\ x^2+y^2+(x+1)^2=1 \\\\\\ x^2+y^2+x^2+2x+1=1 \\\\\\ 2x^2+2x+y^2=0 \\\\\\ 2\left( x^2+x \right)+y^2=0$

$\\\\\\ 2\left( x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4} \right)+y^2=0 \\\\\\ 2\left( x^2+x+\frac{1}{4} \right)+y^2=\frac{1}{2} \\\\\\ 2\left( x+\frac{1}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{2} \\\\\\ 4\left( x+\frac{1}{2} \right)^2+2y^2=1$

$\\\\\\ \frac{\left( x+\frac{1}{2} \right)^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{2}}=1 \\\\\\ \frac{\left( x+\frac{1}{2} \right)^2}{\left( \frac{1}{2} \right)^2}+\frac{y^2}{\left( \frac{\sqrt 2}{2} \right)^2}=1$

Agora tente fazer.