Relação trigonométrica e P.G.(Covest)

por idelbrando Qui 14 Ago 2014, 23:09

Quantas soluções a equação $Relação trigonométrica e P.G.(Covest) Gif.latex?sen%5E%7B2%7DX+%5Cfrac%7Bsen%5E%7B4%7DX%7D%7B2%7D+%5Cfrac%7Bsen%5E%7B6%7DX%7D%7B4%7D+..$ cujo lado esquerdo consiste na soma infinita dos termos de uma progressão geométrica, de primeiro termo $Relação trigonométrica e P.G.(Covest) Gif$ e razão $Relação trigonométrica e P.G.(Covest) Gif$ , admite, no intervalo $Relação trigonométrica e P.G.(Covest) Gif$ ?

Não há alternativas, mas apenas a resposta: 20

por PedroCunha Sex 15 Ago 2014, 07:16

Olá, idelbrando.

Aplicando a fórmula da soma infinita de P.G. no lado esquerdo:

S = a1/(1-q) .:. S = sen²x/(1 - sen²x/2) .:. S = sen²x/(2-sen²x)/2 .:.
S = 2sen²x/(2-sen²x)

Assim:

2sen²x/(2-sen²x) = 2 .:. sen²x = 2 - sen²x .:. 2sen²x = 2 .:. sen²x = 1 .:. sen x = +- 1

Essa equação tem duas soluções - pi/2. 3pi/2 - a cada intervalo de 2pi. Como o intervalo é de 20pi, a resposta é: 20 soluções.

Att.,
Pedro

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