Relação trigonométrica

por jenkidama Ter 28 Jan 2014, 18:07

Sabendo que senx+cosx=a , calcular y=sen³x+cos³x.

resposta: y=a(3-a²)/2

por **Matheus Vilaça** Ter 28 Jan 2014, 19:09

Olá jenkidama,

$\\(senx+cosx)^3=sen^3x+3sen^2x.cosx+3senx.cos^2x+cos^3x\\ \\(senx+cosx)^3=sen^3x+3(1-cos^2x)cosx+3senx(1-sen^2x)+cos^3x\\ \\(senx+cosx)^3=sen^3x+3cosx-3cos^3x+3senx-3sen^3x+cos^3x\\ \\(senx+cosx)^3=3(senx+cosx)-2(sen^3x+cos^3x)\\$

Sabemos que senx + cosx= a. Logo:

$\\a^3=3a-2(sen^3x+cos^3x)\\ \\sen^3x+cos^3x={\color{Red} \frac{a(3-a^2)}{2}}$

por jenkidama Ter 28 Jan 2014, 21:40

Muito Obrigado pela resolução Matheus :-)
Mas tem uma coisa que não estou compreendendo que é esta parte da resolução:
(senx+cosx)³=sen³x+3(1-cos²x)cosx+3senx(1-sen²x)+cos³x
Não estou conseguindo chegar nessa parte e nen passar.
qual fatoração é esta??!

por PedroCunha Ter 28 Jan 2014, 21:45

Veja:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab²+ b³

Basta substituir o que foi dado e pronto, Very Happy

.

Att.,
Pedro

por **Elcioschin** Ter 28 Jan 2014, 21:45

Ele simplesmente substitiu

1) sen²x por (1 - cos²x) na 2ª expressão

2) cos²x por (1 - sen²x) na 3ª expressão

por jenkidama Ter 28 Jan 2014, 21:56

Entendi perfeitamente onde estou errando, estou esquecendo de considerar as relações trigonometricas em alguns momentos.
Muito Obrigado Matheus , Pedrão e mestre Elcio