Quadriláteros Notáveis

por Dan1 Seg 11 Ago 2014, 14:26

Questão: Prove que as bissetrizes dos ângulos formados pelas diagonais de um retângulo são paralelas aos lados do retângulo.

por MatheusMagnvs Ter 12 Ago 2014, 21:27

Propriedade: as diagonais de todo retângulo são iguais; por alternos internos, sabemos que elas determinam 45º com os lados do retângulo.

Observe a seguinte figura:

Traçamos EG e FH, tal que sejam as bissetrizes dos ângulos formados pelas diagonais do retângulo.

Por alternos internos, temos:

m∠EOB = m∠FBO = X = 45º e m∠FOB = m∠EBO = Y = 45º

.'. X = Y = 45º

--> m∠FOG = 90º = X + Y = m∠CGO

Ângulos correspondentes:

--> m∠CGO = m∠CDA = 90º <--> EG // AD // BC

De maneira análoga, por ângulos correspondentes:

m∠OFC = m∠ HFC = X + Y = m∠ABF = 90º<--> FH // AB // CD

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Espero ter ajudado. Very Happy

por **Medeiros** Ter 12 Ago 2014, 21:55

Matheus, desculpe mas acho que você não provou conforme solicitado.

Propriedade: as diagonais de todo retângulo são iguais; por alternos internos, sabemos que elas determinam 45º com os lados do retângulo.

Separei por cores. Azul: ok, perfeito. Vermelho: aqui, antes mesmo de provar, você já supõe que as bissetrizes são paralelas aos lados do retângulo. Verde: não sabemos não senhor; para um retângulo que não seja também quadrado, isso nunca é verdade.

por MatheusMagnvs Ter 12 Ago 2014, 22:12

"Vermelho: aqui, antes mesmo de provar, você já supõe que as bissetrizes são paralelas aos lados do retângulo."

Errado, senhor. Estou me referindo às diagonais, não às bissetrizes. Cuidado com a hermenêutica. Pela definição de paralelogramo, no qual os retângulos estão inseridos, lados opostos são paralelos e iguais entre si; a diagonal entre eles determina ângulos alternos internos congruentes. De fato não se tratam de ângulos de 45º, excetuando-se os quadrados, mas a medida do ângulo ADB = medida do ângulo CBD, por alternos internos.

Quanto ao verde, de fato, foi descuido meu.

Obrigado por notar meu erro. Smile

por **Medeiros** Ter 12 Ago 2014, 22:27

"Estou me referindo às diagonais, não às bissetrizes. Cuidado com a hermenêutica. Pela definição de paralelogramo,..."

Errado, companheiro. Não se trata de hermenêutica mas de falta atenção à gramática, especificamente no caso das orações subordinadas -- e, realmente, faltei com essa atenção -- tal como o senhor as construiu. Não obstante, não é isto o que importa.

O fato é que o senhor usou este mesmo raciocínio ao tratar das bissetrizes.

Por alternos internos, temos:

m∠EOB = m∠FBO = X = 45º e m∠FOB = m∠EBO = Y = 45º

.'. X = Y = 45º

Então, de fato, com ou sem hermenêutica, o senhor supôs o paralelismo antes de o provar.

por MatheusMagnvs Ter 12 Ago 2014, 22:49

Na primeira frase eu nem sequer citei as bissetrizes. Evidente que não me referiria a elas.

Sim, trata-se de hermenêutica, já que foi um contexto interpretativo onde houve erro linguístico do senhor, assim como anteriormente cometi um erro matemático.

"De fato não se tratam de ângulos de 45º"
"Quanto ao verde, de fato, foi descuido meu."

Já assumi meu erro e agradeci, senhor. Adoro errar, pois acredito que não há melhor forma de aprender, e mais uma vez o agradeço por me auxiliar imensamente em meu aprendizado. Contudo, de fato, com ou sem hermenêutica - o que quer que isso signifique além de uma frase de efeito -, não há necessidade de reafirmar o que já foi explicitado, isto é, meu erro. Agradeço novamente pela ajuda e atenção. Smile