planos que contêm dois pares de pontos dif.

Olá pessoal. Estava fazendo os exercícios da minha apostila e me deparei com a seguinte questão:

Se houver, quantos são os planos que contêm quatro pontos distintos dois a dois?


Eu dei uma olhada na resolução oficial, e fiquei em dúvida a respeito. Ao perguntar para meu professor, porém, a resposta dele foi completamente diferente da que eu tinha lido: Apenas um plano.

A resolução está contida a seguir:



A resposta oficial em si é: Um só plano, quatro planos, infinitos planos ou nenhum plano.


Minhas dúvidas:

- Quem está equivocado, meu professor, ou os autores da apostila?
- Por que a letra b afirma que, se os pontos em questão não são coplanares, também são não colineares?

Se puderem me responder, seria de grande ajuda.

Grato

ophir, sua solução não está aparecendo pra mim... tente postar em modo texto normal ou imagem.
(agora que eu postei essa mensagem, apareceu)

Seu professor que está equivocado.

Porque "retas estão contidas em planos". Se dois pontos são colineares, eles são obrigatoriamente coplanares em quaisquer planos que passarem pela tal reta. Mas se dois pontos são coplanares, não significa que são colineares. Imagine o plano cartesiano. Quaisquer 2 pontos pertencentes a uma reta qualquer do plano obrigatoriamente são pontos do plano, mas nem todos 2 pontos quaisquer do plano passam pelas retas desse plano. Espero que seja isso e que tenha ficado claro. ^^

Hm. Imaginei que, pelos pontos estarem dispostos dois a dois, eles obrigatoriamente seriam dois pares de pontos. Logo, duas retas.

Acho que consegui compreender agora. É possível definir dois planos distintos com um par de pontos (no máximo 3, acho). Com isso, todos os casos listados na b fazem sentido, e são os únicos possíveis.

Vou pensar melhor amanhã e volto se tiver alguma dúvida.

MUITO obrigado! xD

ophir, com apenas 2 pontos é possível definir infinitos planos, uma vez que 2 pontos definem 1 reta, e por 1 reta podem passar infinitos planos.
Com 3 pontos distintos dois a dois, é possível determinar 1 plano.

ophir.n

Vamos fazer o teste prático.

Faça o seguinte: coloque três moedas no chão do seu quarto formando um triângulo (3 pontos não colineares). Note que o chão constitui um plano

1) Coloque agora uma 4ª moeda no chão num ponto qualquer diferente dos outros três. Continuamos a ter um ÚNICO plano (o chão)

2) Coloque a 4ª moeda numa parede do seu quarto, acima do chão. Note que a parede constitui um outro plano (diferente do plano do chão). Temos agora DOIS planos diferentes

3) Coloque agora as 4 moedas na reta interseção entre o chão e a parede (4 pontos colineares). Neste caso, além do chão e da parede, qualquer outro plano que passe pelos 4 pontos (seriam paredes inclinadas) atendem à questão. Existem infinitos planos.

Logo, o seu professor está errado