Dois planos em função de I
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Dois planos em função de I
por lipeeyer Dom 09 Ago 2015, 11:58
(FUVEST 2010) Dois planos p1 e p2 se interceptam ao longo de uma reta r, de
maneira que o ângulo entre eles meça r radianos, com 0 < r < r/2. Um triângulo equilátero ABC, de lado l, está
contido em p2, de modo que o lado AB esteja em r. Seja D a projeção ortogonal de C sobre o plano p1, e suponha
que a medida do ângulo alfa = CÂD satisfaça sen(alfa) = √6/4
Nessas condições, determine, em função de l,
a) o valor de alfa
b) A área do triângulo ABD.
maneira que o ângulo entre eles meça r radianos, com 0 < r < r/2. Um triângulo equilátero ABC, de lado l, está
contido em p2, de modo que o lado AB esteja em r. Seja D a projeção ortogonal de C sobre o plano p1, e suponha
que a medida do ângulo alfa = CÂD satisfaça sen(alfa) = √6/4
Nessas condições, determine, em função de l,
a) o valor de alfa
b) A área do triângulo ABD.
lipeeyer- Iniciante
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Re: Dois planos em função de I
por raimundo pereira Dom 09 Ago 2015, 20:08
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Re: Dois planos em função de I
por Sr Ter 01 Fev 2022, 16:12
Na minha lista de exercícios também há:
c) o volume do tetraedro ABCD
Não estou conseguindo fazer, extrema dificuldade para visualizar uma base ou altura.
c) o volume do tetraedro ABCD
- Gabarito:
- (l^3)/6
Não estou conseguindo fazer, extrema dificuldade para visualizar uma base ou altura.
Sr- Padawan
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Re: Dois planos em função de I
por gusborgs Ter 01 Fev 2022, 19:07
O tetraedro pode ser visto como uma pirâmide.
1/3 . Ab . H
Ab = Área da base. Vamos considerar a base como sendo o triângulo ADB
H = Altura = DC
Ab = (l . DM) / 2
H = CD
1) Achar CD = H:
sen teta = √6 / 4 = CD / l
l √6 / 4 = H = CD
2) Achar DM
Sen^2 teta + cos^2 teta = 1
6/16 + cos^2 teta = 1
cos teta = √ 10 / 4 = AD / l
l √10 / 4 = AD
AD^2 = AM^2 + DM^2
10 .l^2 / 16 = l^2 / 4 + DM^2
DM = l √6 / 4
3) Por fim, calcular o volume:
1 / 3 . [(l . DM) / 2 ] . H
1/ 3 . [l √6 / 4 . l / 2] . (l √6 / 4)
1 / 3 . (l^2 √6 / 8 ) . ( l √6 / 4)
l^3 . 6 / 96
l^3 / 16
Tem certeza que é l^3/6 ?
1/3 . Ab . H
Ab = Área da base. Vamos considerar a base como sendo o triângulo ADB
H = Altura = DC
Ab = (l . DM) / 2
H = CD
1) Achar CD = H:
sen teta = √6 / 4 = CD / l
l √6 / 4 = H = CD
2) Achar DM
Sen^2 teta + cos^2 teta = 1
6/16 + cos^2 teta = 1
cos teta = √ 10 / 4 = AD / l
l √10 / 4 = AD
AD^2 = AM^2 + DM^2
10 .l^2 / 16 = l^2 / 4 + DM^2
DM = l √6 / 4
3) Por fim, calcular o volume:
1 / 3 . [(l . DM) / 2 ] . H
1/ 3 . [l √6 / 4 . l / 2] . (l √6 / 4)
1 / 3 . (l^2 √6 / 8 ) . ( l √6 / 4)
l^3 . 6 / 96
l^3 / 16
Tem certeza que é l^3/6 ?
gusborgs- Mestre Jedi
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