Questão PAES 2014 - o valor da expressão...

PedroCunha escreveu:Olá, rivaldoj.

Lembrando que: a^4 + b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2 , temos:

\\ P = \left( \sin^2 \frac{\pi}{16} +   \sin^2 \frac{7\pi}{16} \right) - 2 \cdot \sin^2 \frac{\pi}{16} \cdot \sin^2 \frac{7\pi}{16} - \frac{\sqrt2}{8}

Porém, note que \frac{\pi}{16} + \frac{7\pi}{16} = \frac{8\pi}{16} = \frac{\pi}{2} , ou seja, são ângulos complementares. Assim,

\\ \sin^2 \frac{\pi}{16} + \sin^2 \frac{7\pi}{16} = \sin^2 \frac{\pi}{16} + \cos^2 \frac{\pi}{16} = 1 .

e

2 \cdot \sin^2 \frac{\pi}{16} \cdot \sin^2 \frac{7\pi}{16} = 2 \cdot \sin^2 \frac{\pi}{16} \cdot \cos^2 \frac{\pi}{16} .

Lembrando que 2 \cdot \sin a \cdot \cos b = \sin(2a) e substituindo:

P = 1 -\frac{\sin^2 \frac{\pi}{8}}{2} - \frac{\sqrt2}{8} .

Agora, vou demonstrar a fórmula do arco metade do seno:

\cos (2a) = 1 - 2\sin^2 a. Fazendo 2a = x :

\cos x = 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2} \therefore \sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} .

Como \frac{\pi}{8} pertence ao 1° quadrante, o sinal vai ser positivo:

\\ \sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{2}} \therefore \sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt2}{4}} \therefore \sin \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2} .

Finalizando:

\\ P = 1 - \frac{\left( \frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2} \right)^2}{2} - \frac{\sqrt2}{8} \therefore P = 1 - \frac{2-\sqrt2}{8} - \frac{\sqrt{2}}{8} \therefore P = \frac{8 - 2 + \sqrt2 - \sqrt2}{8} \therefore P = \frac{6}{8} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{P = \frac{3}{4} }}

Questão legal.

Att.,
Pedro

Elcioschin escreveu:Faça as contas do 2º membro que você descobre