Numeros Complexos

por PedroBR Seg 28 Jul 2014, 19:48

Não sei se é a área correta. Caso seja, movam o tópico, por favor.

Sejam $i^{2}=-1$ , $z$ um numero complexo, $\bar{z}$ o seu conjugado e $\left | z \right |$ o seu módulo. Julgue os itens a seguir:

[...] b) Se $z \neq 1$ é tal que $z^{5} = 1$ , então $z + z^{1} + z^{2} + z^{3} + z^{4} + z^{5} = 0$ .

__________________

>> Além disso, posso fatorar números complexos desta forma z² + z = z(z + 1) ? E sendo w = -1 um número complexo, w^6 é necessariamente = 1 ?

por PedroCunha Seg 28 Jul 2014, 21:37

Olá, PedroBR.

Primeira dúvida:

Note que z^0 + z^1 + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 - creio que você digitou errado - é uma soma de P.G. de a1 = 1, q= z, n = 6 . Assim:

S = 0 \therefore \frac{a_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1} = 0 \therefore \frac{1 \cdot (z^6-1)}{z-1} = 0 \therefore \Leftrightarrow z^6 = 1

Logo, a afirmativa é falsa.

Segunda dúvida:

Sim.

Terceira dúvida:

Sim, pois -1 elevado a expoente par é sempre 1.

Att.,
Pedro

por **Elcioschin** Seg 28 Jul 2014, 21:51

PedroBR

1) Seu enunciado está incompleto: Poste TODOS os ítens!!!

2) Não entendi o item b) e z ≠ 1 .... ---> Parece estra incompleto

3) "E sendo w = - 1 um número complexo ...." ---> -1 é um número REAL

por PedroCunha Seg 28 Jul 2014, 21:57

Élcio, o conjunto dos complexos engloba o dos reais. Todo número real é complexo.

w = - 1 .:. w = -1 + 0i

por PedroBR Seg 28 Jul 2014, 22:04

PedroCunha escreveu:Olá, PedroBR.

Primeira dúvida:

Note que z^0 + z^1 + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 - creio que você digitou errado - é uma soma de P.G. de a1 = 1, q= z, n = 6 . Assim:

S = 0 \therefore \frac{a_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1} = 0 \therefore \frac{1 \cdot (z^6-1)}{z-1} = 0 \therefore \Leftrightarrow z^6 = 1

Logo, a afirmativa é falsa.

Segunda dúvida:

Sim.

Terceira dúvida:

Sim, pois -1 elevado a expoente par é sempre 1.

Att.,
Pedro

Desculpa, mas acabei postando a equação errada mesmo. A correta seria: $z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5} = 0$ . Seguindo o raciocínio de PG, a soma dá zero, correto ?

por PedroCunha Seg 28 Jul 2014, 22:10

Muda tudo.

z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 = 0 \therefore \frac{z \cdot (z^5 - 1)}{z-1} = 0 \therefore z \cdot (z^5 - 1) = 0

Se z^5 = 1 , z^5 -1 = 0 e com isso z \cdot (z^5-1) = 0 \therefore 0 = 0

Verdadeira.

por PedroBR Seg 28 Jul 2014, 22:12

O gabarito diz que ela é falsa. Outra coisa: lá em cima você disse que z^6 = 1 era falso por quê ?

por PedroCunha Seg 28 Jul 2014, 22:41

Porque era z^6 = 1 e não z^5 = 1 .

Tem certeza do enunciado?

Do jeito que você passou na sua 2ª mensagem, a afirmativa é verdadeira.

por PedroBR Dom 03 Ago 2014, 10:48

Não consegui achar a resolução da questão na internet, mas o que você mostrou já me ajudou muito. Valeu !

Agora, outra duvida: Sendo o numero complexo z = i + 1 uma das raízes do polinômio x³-4x²+6x-4, é correto afirmar que a soma das outras raízes é um numero complexo de módulo, igual a ...

Consegui resolver a questão, mas quero saber se há outro modo mais simples de fazer isto. Resolva, por favor.