AFA 2006 - Geometria Analítica

(AFA - 05/06) Um cursinho tem representado na figura abaixo o seu logotipo que é contornado por um triângulo equilátero ABC, cujo baricentro é o ponto P(0, √3/3). No interior desse triângulo há o quadrado DEFG inscrito na circunferência λ₁ e, ao mesmo tempo, circunscrito à circunferência λ₂. Considerando os dados acima, classifique as alternativas abaixo em (V) verdadeira(s) ou (F) falsa(s).



( ) A equação geral de λ₁ é x² + y² - 2(√3)y/3 = 0
( ) A coroa circular sombreada na figura pode ser representada pelo conjunto de pontos Q (x, y), tais que:
    x² + (y - √3/3)² ≥ 1/3
    x² + (y - √3/3)² ≤ 1/6
( ) A reta suporte que contém o segmento BC pode ser representada por y = -√3.x + √3
A sequência correta é:


a) V - V - V
b) V - F - V
c) F - V - V
d) V - V - F

R: b

Seja L o lado do triângulo equilátero, a o lalo do quadrado e M o ponto médio de DE

P(0, √3/3) ---> C(0, √3) ---> OC = √3 ---> L.cos30º = OC ---> L.√3/2 = √3 ---> L = 2


OA = OB = L/2 ----> OA = OB = 1


CM/DM = CO/AO ---> (2.√3/3)/(a/2) = √3/1 ----> a = 4/3 ----> DM = PM  = 2/3


PD² = DM² + PM² ---> R² = (2/3)² + (2/3)² ----> R² = 8/9


Equação de  λ₁ ---> (x - xP)² + (y - yP)² = R² ---> (x - 0)² + (y - √3/3)² = 8/9 ---> 


x² + y² - 2.√3.y/3 + 3/9 = 8/9 ----> x² + y² - 2.√3.y/3 = 5/9


A 1ª afirmação é FALSA. Acho que existe erro no enunciado ou no gabarito

Elcio, conferi o enunciado e o gabarito oficial, estão todos corretos.

Aproveite e confira minha solução para ver se tem algum erro.

I. Temos que A(Xa , 0), B(Xb , 0) e C(0 , Yc), a partir da equação dada para determinar o baricentro

Yp = (Ya + Yb + Yc)/3 ⇒ √3/3 = Yc/3 ⇒ Yc = √3

II. Sendo distância OC = √3, temos que no triângulo OAC

sen60° = √3/AC ⇒ √3/2 = √3/AC ⇒ AC = 2, como o triângulo ABC é equilátero, AB = BC = AC = 2

III. Como o triângulo ABC é equilátero, P(0, √3/3) e centro do triângulo e circunferências, então

R² = |√3/3 - 0|² + |0 - 0|² ⇒ R = √3/3

IV. A equação geral da circunferência maior é
|x - 0|² + |y - √3/3|² = (√3/3)² ⇒ x² + y² - (2y√3)/3 + 1/3 = 1/3 ⇒ x² + y² - (2y√3)/3 = 0

V. Pitágoras no triângulo GEF (lembrando que GE é o diâmetro da circunferência maior)

GE² = GF² + EF² ⇒ 1/3 = 2GF² ⇒ GF = √6/6, sendo M o ponto médio de GF, GM = √6/3 (raio da circunferência menor)

VI. A equação geral da circunferência menor é
|x² - 0| + |y - √3/3|² = (√6/3)² ⇒ x² + y² - (2y√3)/3 = 1/3

VII. Como AB = 2, então Xa = Xb = 1, com isso, A(-1,0) e B(1,0), a equação BC é das pelo dispositivo delta

|1 x 0 1|
|0 y √3 0|

y + x√3 = √3 ⇒ y = -x√3 + √3