(Espcex 2008) Geometria Espacial

por Luck Seg 28 Jun 2010, 00:58

Para obter o sólido geométrico representado abaixo, partiu-se de um cubo de aresta L e retirou-se de cada um dos vértices desse cubo uma pirâmide de base triangular com as arestas laterais medindo L/4, conforme a figura. Denominando-se V o volume do cubo a partir do qual foi obtido o sólido, pode-se concluir que o volume desse sólido é
(Espcex 2008) Geometria Espacial 21091424

(Espcex 2008) Geometria Espacial 21091424

A) 23/24 V
B) 47/48 V
C) 71/72 V
D) 95/96 V
E) 143/144 V

R. letra B

por **Elcioschin** Qua 30 Jun 2010, 16:25

x = lado da base de cada pirâmide triangular de arestas L/4:

As arestas formam entre sí ângulos retos, logo: x² = (L/4)² + (L/4)² ----> x² = L²/8

Área da base destas pirâmides ----> S = x²*V3/4 ----> S = L²*V3/32

Raio da base destas pirâmides ----> x = 2*R*cos30° ----> x = R*V3 ----> x² = 3*R²

L²/8 = 3*R² ----> R² = L²/24

Altura das pirâmides ----> h² = (L/4)² - R² ----> h² = L²/16 - L²/24 ----> h² = L²/48

h = L/4*V3

Volume de cada pirâmide ----> v = S*h/3 ----> v = (L²*V3/32)*(L/4*V3)/3 ---->

v = L³/384

Volume do sólido ----> Vs = L³ - 8*(L³/384) ----> Vs = L³ - L³/48 ---->

Vs = (47/48)*L³ ----> Vs = (47/48)*V ----> Alternativa B

por Luck Qui 01 Jul 2010, 03:16

Olá Elcio, obg pela solução! Tem um jeito + fácil de fazer:
Vsólido = Vcubo - 8.Vpirâmide
Vc = L³
Vp = 1/3Ab.h , h = L/4
Ab = b.h/2
Ab = (L/4.L/4)/2 = L²/32

Vp = 1/3(L²/32.L/4)
Vp = L³/384

Vs = L³ - 8.L³/384
Vs = (47/48)L³