Equação do 2º Grau IV

por L.Lawliet Seg 14 Jul 2014, 22:24

Se (X₁;X₂) são raizes da equação 2x²-2x+1=0. Calcule

$\left ( \frac{a}{b} \right )^{\frac{b}{a}}-\left ( \frac{b}{a} \right )^{\frac{a}{b}}$

A resposta é (0)

Obs: Coloquei (X₁=a ; X₂=b) na imagem apenas para facilitar a escrita no Latex

Obs²: https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%5E2-2x%2B1%3D0&lk=4&num=2, então talvez tenha algum erro na questão

por Luck Ter 15 Jul 2014, 16:23

Deve haver uma outra solução, mas substituir as raízes nesse caso não é trabalhoso: a = (1+i)/2 , b = (1-i)/2
S = (a/b)^(b/a) - (b/a)^(a/b)
S = [(1+i)/(1-i)]^[(1-i)/(1+i)] - [(1-i)/(1+i)]^[(1+i)/(1-i)]
racionalizando, temos:
[(1+i)/(1-i)][(1+i)/(1+i)] = (1+i)²/(1-i²) = 2i/2 = i
analogamente: [(1-i)/(1+i)] = 1/i = -i

S = i^(1/i) - (1/i)^i
S = i^(-i) - i^(-i)
S = 0

por L.Lawliet Ter 15 Jul 2014, 21:17

Luck, só uma coisa, nesse finalzinho (as tres ultimas linhas) que voce fez:

S = i^(1/i) - (1/i)^i → S = i^(-i) - i^(-i) → S = 0

Como 1/i = -i , nao seria S = i^(1/i) - (1/i)^i →S = i^(-i) - ( -i)^(-i) →S = i^(-i) + i^(-i)≠0 ?

por Luck Qua 16 Jul 2014, 00:30

luiz.bfg escreveu:Luck, só uma coisa, nesse finalzinho (as tres ultimas linhas) que voce fez:

S = i^(1/i) - (1/i)^i → S = i^(-i) - i^(-i) → S = 0

Como 1/i = -i , nao seria S = i^(1/i) - (1/i)^i →S = i^(-i) - ( -i)^(-i) →S = i^(-i) + i^(-i)≠0 ?

Não, esse sinal de + é um erro porque o que está elevado é o -i, e não apenas o i.
S = i^(1/i) - (1/i)^i
como 1/i = -i , i^(1/i) =i^(-i) ;
da propriedade de potenciação: (a/b)^k = (b/a)^(-k) , então temos (1/i)^i = i^(-i)
logo, S = 0 .