ITA - triângulo equilátero

por **Ashitaka** Sex 11 Jul 2014, 15:45

Sejam P um ponto interior de um triângulo equilátero MNQ de lado 2λ, PA = x, PB = y, PC = z as respectivas distâncias do ponto P aos lados MN, MQ e NQ e xy = xz = yz = λ²/9. Qual o valor de x² + y² + z²?

A) 3λ²/2
B) 5λ²/4
C) 7λ²/3
D) impossível de ser obtido, pois a posição do ponto P não está determina da no triângulo.
E) n. r. a

Não tenho gabarito então gostaria de confirmar se minha resposta está correta.

por **Elcioschin** Sex 11 Jul 2014, 18:09

Hgp2102

Você deveria ter postado a sua solução para podermos conferir.
Por favor, faça isto, para facilitar nosso trabalho

por **Ashitaka** Sex 11 Jul 2014, 22:45

Elcioschin, acredito que não seja mais necessário.
Veja, nas condições do enunciado, x = y = z = λ/3.
Mas, do enunciado, P é baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro:
x = y = z = λV3/3, o que é a absurdo. Então, E.

por **Medeiros** Sex 11 Jul 2014, 23:11

Hgp, entendo que a resposta é a alternativa (c).

Faça o desenho. Ligue o ponto P a cada vértice do triângulo MNQ. Considere as áreas dos triângulos:

S_MNQ = S_MPN + S_MPQ + S_NPQ

(2λ)²√3/4 = 2λ.x/2 + 2λ.y/2 + 2λ.z/2
λ²√3 = λx + λy + λz
λ√3 = x + y + z .......................................................... (i)

da álgebra:
x² + y² + z² = (x + y + z)² - 2xy - 2xz - 2yz
x² + y² + z² =(x + y + z)² - 2.(xy + xz + yz) ................ (ii)

do enunciado: xy = xz = yz = λ²/9 ................................ (iii)

(i) e (iii) em (ii), vem:
x² + y² + z² = (λ√3)² - 2.(3.λ²/9)
x² + y² + z² = 3λ² - 2λ²/3
x² + y² + z² = 7λ²/3

por **Ashitaka** Sáb 12 Jul 2014, 12:35

Sim, Medeiros, talvez fosse essa a intenção deles, mas do enunciado:
xy = xz = yz = λ²/9, e daqui concluímos que x = y = z, portanto
xy = x² = λ²/9
x² + y² + z² = 3x² = λ²/3

Além disso, do enunciado do problema sabemos que P é circuncentro. E por ser triângulo equilátero, também é incentro. Sendo incentro, ligando a bissetriz de um vértice qualquer ao ponto B obtemos um ângulo de 30 graus que permite escrever:
tg30 = x/λ ---> x = λ/√3 ---> x² = λ²/3 ----> 3x² = λ²

Veja que seguindo o enunciado encontramos 3 possíveis resultados para a soma x² + y² + z², o que é um absurdo.

por **Medeiros** Sáb 12 Jul 2014, 16:48

Hgp, como você, também acho que a intenção do gerador da questão era a resposta conforme dei acima, apesar dos absurdos que você citou e que eu já tinha notado. Mas também considero que este problema está bastante mal elaborado. De onde você o pinçou?

por **Ashitaka** Dom 13 Jul 2014, 14:45

Esse exercício é do ITA e eu peguei numa lista do site Rumo ao ITA. Um tempo depois pesquisei na internet e achei um tópico no Orkut que discutiam esse problema e chegaram ao mesmo dilema.