P.A. (COVEST-PE)

Sobre o número de sequências a_n=n⁵-n, n E N*, analise as seguintes afirmações:
a) São múltiplos de 3.
b) Não podem ser múltiplos de 7.
c) Não são primos.

Resposta: VFV

eu fiz uma breve sequência de 4 números: 

1º termo ; a1 = 1^5 - 1 = 0
2º termo ; a2 = 2^5 -2= 30
3º termo ; a3 = 3^5 - 3 = 240
4º termo ; a4 = 4^5 - 4 = 1020

nota-se que esses números não são primos, nenhum divisível por 7, porém todos múltiplos de 3 ..

1.0) Forma alternativa do polinômio:
O polinômio n^5-n pode ser escrito de outras formas.
= n(n^4-1)
= n((n^2)^2 - 1^2)
= n((n^2-1)(n^2+1))
= n(n-1)(n+1)(n^2+1)  

2.0) Analisar as alternativas:

a) São múltiplo de 3 (Verdadeiro):
Obs: Todo produto de três números consecutivos vai ser múltiplo de 3. O termo geral da sequência pode ser decomposto na forma n(n-1)(n+1)(n^2+1), onde (n-1)n(n+1) são três números consecutivos.

b) Não podem ser múltiplos de 7 (Falso):
Basta usar n = 7. Se 7^5 é múltiplo de 7, então 7^5 - 7 também vai ser múltiplo de 7.

c) Não são primos (Verdadeiro):
Para todo n natural, an vai ser múltiplo de n.