Juros simples e compostos

Matemática financeira não é meu habitat, mas penso que para juros compostos a retirada num período inferior a T+1, por exemplo: um capital aplicado a juros de 20% aa e retirado em 3 meses, digamos



numérico:

Gustavo Gomes escreveu:Olá, pessoal!

Estou com dúvidas na questão:

Considere um aplicação que rende juros x > 0 em uma unidade de tempo T = 1 (por exemplo, um mês, um ano, etc.) Isto é, se uma quantia c é investida nesta aplicação pelo período T, então o valor resgatado será M = c(1 + x). Suponha que um investidor resgate a quantia c em um tempo t < T.

a) Qual será o valor resgatado se a aplicação rende juros simples para t < T?

b) Qual será o valor resgatado se a aplicação rende juros compostos para t < T?

c) Em qual das duas opções acima o investidor resgatará um valor maior?

d) A conclusão do item anterior também é válida para t > T?

Fiquei em dúvida, pelo fato do resgate ser feito antes do período, os juros simples e compostos não seriam zero neste caso? Tem sentido calcular juros neste caso?

Grato.

Olá.


Na definição M = C(1 + x) do enunciado faltou dizer que x é uma taxa de juros unitária e deve estar na mesma unidade de tempo do prazo t, condições estas também exigidas para responder às indagações da questão.


Vamos lá: 


Qual será o valor resgatado se a aplicação rende juros simples para t < T?

R.: M = C*(1 + x*t).

Sendo: C = 100,00 (por hipótese); x = 12% = 0,12 a.a., T = 1 ano; t = 5 meses, vejamos alguns exemplos de aplicações a juros simples e compostos:

1º) C = 100; x = 0,36 a.a. ; t = 4 meses = 4/12  ano = 0,33333 ano.

M = 100*(1 + 0,36*0,33333) = 112,00 

2º) C = 100; x = 0,36/12 a.m. = 0,03 a.m.; t = 4 meses

M = 100*(1 + 0,03*4) = 112,00 

3º ) C = 100;  x = 0,36/360 =  0,001 a.d.; n = 4.30 = 120 dias

M = 100*(1 + 0,001.120) = 112,00 

b) Qual será o valor resgatado se a aplicação rende juros compostos para
t < T?

R.: M = C*(1 + x)^t, sendo x uma taxa efetiva.

Exemplos:

1º) C = 100; x = 0,36 a.a., t = 4 meses =  4/12 ano = 0,33333 ano

M = 100*(1 + 0,36)^0,333333 = 110,79

2º) x = 0,36 a.a. = (1+0,36)^(1/12)-1 a.m. = 0,025955  a.m., n = 4 meses

M = 100(1 + 0,025955)^4 = 110,79

3º)  t = 4 meses = 120 dias;  x = 0,36 a.a = (1+0,36)^(1/360) - 1 = 0,000854 a.d.

M  = 100(1 + 0,000854)^120 = 110,79 

c) Em qual das duas opções acima o investidor resgatará um valor maior?

R.: Na aplicação a juros simples (hipótese de M = C(1 + x.t) 

d) A conclusão do item anterior também é válida para t > T?

Não. Conforme vemos nos exemplos a seguir, se t > T, é mais vantajoso aplicar a juros compostos:

1º) C=100; x = 0,12 a.a.; t = 5 anos; M = ?

Se M = C(1 + x.t)-à M = 100(1 + 0,12.5)---->àM = 160,00


 Se M = C(1 + x)^t---->M = 100(1 + 0,12)^5--->M = 176,23 

Notas:
1ª)  No regime de juros simples, o capital cresce segundo uma função linear, já que os juros incidem somente sobre o capital inicial. Já no regime composto, como os juros incidem tanto sobre o capital quanto sobre os juros acumulados nos períodos anteriores, o crescimento obedece a uma função exponencial.

2ª) Se traçarmos o gráfico das duas funções, veremos que a intersecção de ambos é o ponto em que os montantes das duas modalidades de aplicação (juros simples e juros  compostos) se igualam, caracterizando a situação particular em que t = T. Vejamos um  exemplo prático:

C = 100; x = 0,12 a.a.; n = 12 meses = 1 ano; M= ?

M = C(1 + x.t)---->M = 100(1 + 0,12.1) ---->M = 112,00

M = C(1 + x)^t---->àM = 100(1+0,12)^1---->M = 112,00

3ª) Resumindo, temos:

· t < T, a aplicação é mais vantajosa se feita a juros simples.

· t = T, os juros serão iguais qualquer que seja o regime de capitalização (simples ou composta).

· T > t, a aplicação é mais vantajosa se feita a juros compostos, sendo que a vantagem aumenta na medida em que t cresce.


Um abraço.