Questão sobre geometria analítica!

(UFPI) Seja r a reta que forma com os eixos 
coordenados x e y positivos um triângulo com área 
igual a 12 unidades. Se o coeficiente angular da reta r 
é 
3
2
− , sua equação é: 
A) 3y + 2x = 12 
B) 3y – 2x = 12 
C) – 3y + 2x = -12 
D) y + 2x = 12 
E) – 3y – 2x = 12 

A resposta é a letra a.

Olá.

Se o coeficiente é 3/2, podemos falar que r: y = 3x/2 + b

Então, os pontos que pertencem à reta são da forma (x, 3x/2+b).

As interseções da reta com os eixos x e y, respectivamente , são :

y=0 --> 3x/2 + b = 0 .:. 3x/2 = -b .:. 3x = -2b .:. x = -2b/3 --> (-2b/3, 0)
x=0 --> 3*0/2 + b = y .:. y = b --> (0, b)

O terceiro vértice é um ponto qualquer da reta. Aplique a fórmula da área de um triângulo por determinante e resolva.

PedroCunha escreveu:Olá.

Se o coeficiente é 3/2, podemos falar que r: y = 3x/2 + b

Então, os pontos que pertencem à reta são da forma (x, 3x/2+b).

As interseções da reta com os eixos x e y, respectivamente , são :

y=0 --> 3x/2 + b = 0 .:. 3x/2 = -b .:. 3x = -2b .:. x = -2b/3 --> (-2b/3, 0)
x=0 --> 3*0/2 + b = y .:. y = b --> (0, b)

O terceiro vértice é um ponto qualquer da reta. Aplique a fórmula da área de um triângulo por determinante e resolva.

Posso escolher esse ponto?? tipo o ponto (3; 2), por exemplo?? Como determino o terceiro vértice?

Vamos por eliminação:

O coeficiente angular deve ser -2/3. Isso já elimina as alternativas b,c e d. Plotando a alternativa e, vemos que ela não passa no primeiro quadrante, logo, não serve.

Resposta: Letra A

Att.,
Pedro

A outra maneira:

O terceiro vértice é a origem do sistema cartesiano. P(0,0). Então, os vértices são:

(3b/2,0) ; (0,b) ; (0,0)

O enunciado necessita de uma pequena correção: o coeficiente angular é -2/3 e não 3/2.

Temos:

| det vértices | = 2S .:. | |0      0 1| 0     0  |  = 24 .:.
                                       |3b/2 0 1|3b/2 0
                                       |  0     b 1|0     b

0 + 0 + 3b²/2 - 0 - 0 -0 = 24 .:. b² = 16 .:. b = +- 4, b > 0: b = 4

Os vértices são: (0,4), (6,0) e (0,0)

A reta passa por (0,4) e tem coeficiente angular -2/3. Então:

y - 4 = -2/3 * (x-0) .:. 3y - 12 = -2x.:. .:. 3y+2x=12 

Att.,
Pedro