Diagonais de paralelepípedos.

Um paralelepípedo retângulo tem dimensões proporcionais às de uma caixa de fósforos. Se a diagonal do parelalepípedo é 5 vezes a diagonal da caixa, determine as razões:
a) Entre as áreas do paralelepipedo e da caixa 

Resposta::

b) Entre os volumes do paralelepípedo e da caixa

Resposta::

Sejam:

a, b, c as arestas do menor
A, B, C as arestas do maior
d, D as diagonais, s, S as áreas, v, V os volumes
K, m duas constantes de proporcionalidades

D = 5.d

b = k.a ---> c = m.a ---> B = k.A ---> C = m.A

s = 2.a.b + 2.a.c + 2.b.c ---> s = 2.a.(k.a) + 2.a.(m.a) + 2.(k.a).(m.a) --->

s = 2.a^2.(k + m + k.m)

v = a.b.c ---> v = a.(k.a).(m.a) ---> v = k.m.a^3

De modo similar ---> S = 2.A^2.(k + m + k.m) ---> V = k.m.A^3

d^2 = a^2 + b^2 + c^2 ---> d^2 = a^2.(1 + k^2 + m^2)
D^2 = A^2 + B^2 + c^2 ---> D^2 = A^2.(1 + k^2 + m^2)

D^2/d^2 = A^2/a^2 ---> A/a = D/d ---> A/a = 5,d/d ---> A = 5.a

S = 2.A^2.(k + m + k.m) ---> S = 2,25.a^2.(k + m + k.m)

V = k.m.A^3 ---> V = k.m.(5.a)^3 ---> V ÷ 125.k.m.a^3

S/s = 25 ---> V/v = 125