Integral Indefinida com raiz no denominador

por Wederson Carvalho Seg 05 maio 2014, 21:05

Pessoal, como resolvo esta integral indefinida:

Integral indefinida de 1/raiz 4x²-9 dx

por **Elcioschin** Seg 05 maio 2014, 22:03

Postagem em local indevido: integral NÃO é assunto do Ensino Médio.

por **mauk03** Seg 05 maio 2014, 23:29

Fazendo x = 3u/2 --> dx = (3/2)du, tem-se:
$\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-9}}=\frac{3}{2}\int \frac{du}{\sqrt{4\left ( \frac{3u}{2} \right )^{2}-9}}=\frac{3}{2}\int \frac{du}{\sqrt{9u^{2}-9}}=\frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}}$

Fazendo u = sec(θ) --> du = sec(θ)tan(θ)dθ, tem-se:
$\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}}=\int \frac{\sec \theta \tan \theta }{\sqrt{\sec ^{2}\theta -1}}d\theta=\int \sec \thetad\theta d\theta =\ln \left | \sec \theta +\tan \theta \right |+C$

Tem-se sec(θ) = 2x/3 e tan(θ) = √(sec²(θ) - 1) = √(4x²/9 - 1). Assim:
$\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-9}}=\frac{1}{2}\ln \left |\frac{2x}{3}+ \sqrt{\frac{4x^{2}}{9}-1} \right |+C$