O algarismo das unidades de 2013^{2014} é :

Resposta=9

Pegando apenas o algarismo das unidades, pois ele varia sem depender dos outros, percebemos:

3^1=3
3^2=9
3^3=27
3^4=81
3^5=243

Existe uma periodicidade.

Dividindo 2014 pelo período:

2014=503*4+2 (Resto)

O período acontece 503 vezes + 2, ou seja, como vemos, o 1º = 3 e o 2º = 9

Boa noite! Abraços

Imperial eu entendi tudo menos a parte de você utilizar o 3 para sabe quantas vezes o expoente se repete pois achei que utilizaria o próprio 2013 para saber isso.

Leopinna, veja como se comportam as potências de 2013.

2013¹ = 2013
2013² = 4052169
2013³ = 8157016197
2013^4 = 16420073604561
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Repare que haverá um ciclo (3,9,7,1,3,9,7,1,...), esse período sempre irá se repetir, e sempre de 4 em 4. Note que se eu fosse fazer 2013^5, como queremos apenas o algarismo das unidades, dá para notar claramente que seria o 3, pois ignorando o restante dos algarismos ficaria: abcdefghijklmn3, pois 1 x 3 = 3, e o restante não importa.

Como é um ciclo que se repete de 4 em 4, basta dividirmos o expoente 2014 por 4.

Um pequeno obs: Todos os algarismos, com exceção do 0, 1, 4, 5 e 6, irão fazer com que o algarismo das unidades de suas respectivas potências se comporte como um ciclo de 4 em 4. O algarismo 4 sempre irá alternar o algarismo das unidades em 4 e 6. Quando o expoente for ímpar, o algarismos das unidades será o 4, e quando for par, será o 6.

4¹ = 4
4² = 16
4³ = 64
4^4 = ab6
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Intuitivamente, percebemos que irá se repetir de acordo com a paridade do expoente, ou seja, se eu quisesse saber o algarismo das unidades de 2014^487624326, sem se assustar, basta eu ver se o expoente é ímpar ou par, ou seja, o algarismo das unidades de 2014^487624326 será o 6.


Salvo exceção para os algarismos 5 e 6, seja qual for a potência, o algarismo das unidades sempre será o 5 e o 6, respectivamente.


5¹ = 5
5² = 25
5³ = 125
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E assim sucessivamente, do mesmo modo para o 6. 

Espero ter esclarecido algumas dúvidas, abraço!

Outra solução:
para obter o algarismos das unidades, basta descobrir o resto do número na divisão por 10.

2013 ≡ 3 mod(10) ∴ 2013² ≡ 9 mod10 ∴ 2013² ≡ (-1) mod(10) ∴
(2013²)^(1007) ≡ (-1)^(1007) mod(10) ∴ (2013)^2014 ≡ (-1) mod(10) ∴
(2013)^(2014) ≡ 9 mod(10)