Teste da segunda derivada

por Carlovsky Ter 01 Jun 2010, 12:56

E para determinar os extremos relativos da função f definida em IR por f(x)= x- 2/x - 3 ln x

Calculei a derivada e deu me 1 - 2/x^2 - 3/ x

E a partir daqui e que começa a duvida....

igualando esta derivada 1- 2/x^2 - 3/x = 0, nao consigo completar o exercicio para achar os dois pontos....Alguem me pode dar os passos que tenho de dar para resolver isto integralmente e para eu aprender como se faz???

Obrigado

por **Euclides** Ter 01 Jun 2010, 13:56

A derivada de uma função em um ponto do seu domínio é o coeficiente angular da reta tangente no ponto, assim nos pontos em que essa derivada é igual a zero a tangente é horizontal, correspondendo a um ponto de máximo ou mínimo da função.

$\\f(x)=x-\frac{2}{x}-3ln\,x\\\\f'(x)=1{\color{red} +}\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x}$

$\\f'(x)=0\to 1 +\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x}=0\\\\x^2+2-3x=0\begin{cases}x=2\\x=1\end{cases}$

vemos que há dois pontos críticos que podem ser máximos ou mínimos. Testaremos, para a decisão, a derivada segunda:

$\\f'(x)= 1 +\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x}\\\\f''(x)=-\frac{4}{x^3}+\frac{3}{x^2}$

$\\f''(x)<0\to x\,\,\acute{e}\,\,ponto\,\,de\,\,m\acute{a}ximo\\f''(x)>0\to x\,\,\acute{e}\,\,ponto\,\,de\,\,m\acute{i}nimo$

$\\f''(2)=-\frac{4}{2^3}+\frac{3}{2^2}\Rightarrow f''(2)>0\to 2\,\,\acute{e}\,\,ponto\,\,de\,\,m\acute{i}nimo\,\,local\\\\f''(1)=-\frac{4}{1}+\frac{3}{1}\Rightarrow f''(1)<0\to 1 \,\,\acute{e}\,\,ponto\,\,de\,\,m\acute{a}ximo\,\,local$

por Carlovsky Ter 01 Jun 2010, 16:16

Obrigado

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