Teste da primeira Derivada

Determine os extremos de f(x)=x^(2/3)*(x^(2)-8)
cheguei em , pontos críticos x=-√2 ,x=√2 e x=0,porém não conseguir analisar o sinal de .

alguém pode me dar algumas dicas? :cheers:.

Faça a derivada primeira e iguale a 0:

f(x)=x^(2/3)*(x^(2)-

f'= (((derivada do primeiro veses o segundo mais derivada do segundo vezes a derivada do primeiro)))

f'=2/3x^(-1/3)*(x^(2)- + 2x^(5/3) =0

Simplificar essa expressão é uma questão de trabalho algébrico:

f'=(8 / 3 x² - 16 / 3) / (x^1/3) =0
a expressão:
(8 / 3 x² - 16 / 3)=0
se anula em:

8/3 x^2 =16/3

x=+-raiz(2)

Que são as soluções soluções triviais. Para testar em x=0, ponto onde a função não é diferenciável, teremos:

lim (8 / 3 x² - 16 / 3) / (x^1/3) = inf
x-->0
O que já era esperado, para x<0, x^1/3<0, para x>0, x^(1/3)>0. A mudança de sinal ocorre no ponto x=0, enquanto que o vértice da função,
8x^2-16,

também está em x=0. Isso implica que a derivada em questão se torna crescente para x entre -raiz(2) e 0, e decresce entre 0 e raiz(2), com mesma simetria (simetria par no caso). Assim x=0 é um "pico" dessa função.
Espero ter ajudado.

então essa função tem mínimo local em f(√2), correto?

O mínimo está no ponto x=√2, e em x=-√2, para y=f(√2)=f(-√2), que é o mínimo local.